共空间模式 Common Spatial Pattern(CSP)原理和实战
- 2019 年 10 月 6 日
- 筆記
共空间模式CSP
共空间模式（Common Spatial Pattern, CSP）是一种对两分类任务下的空域滤波特征提取算法，能够从多通道的脑机接口数据里面提取出每一类的空间分布成分。公共空间模式算法的基本原理是利用矩阵的对角化，找到一组最优空间滤波器进行投影，使得两类信号的方差值差异最大化，从而得到具有较高区分度的特征向量。
共空间模式理论
假设X_1和X_2分别为两分类想象运动任务下的多通道诱发响应时-空信号矩阵，他们的维数均为N*T,N为脑电通道数，T为每个通道所采集的样本数。为了计算其协方差矩阵，现在假设N<T.在两种脑电想象任务情况下，一般采用复合源的数学模型描述EEG信号。为了简化计算，常忽略噪声所带来的影响。X_1和X_2分别为：
上式(1)中，S_1和S_2分别代表两种类型任务。假设两种信号源是相互线性独立的；S_M代表两种类型任务下所共同拥有的源信号，假设S_1是由m_1个源所构成的，S_1是由m_2个源所构成，则C_1和C_2便是由S_1和S_2相关的m_1和m_2个共同空间模式组成的。由于每个空间模式都是一个N∗1维的向量，现在用该向量来表示单个的源信号所引起的信号在N个导联上的分布权重。C_M表示的是与S_M相应的共有的空间模式。CSP算法的目标就是要设计空间滤波器F_1和F_2得到空间因子W。
1.求解协方差矩阵
时空信号矩阵X_1和X_2归一化的协方差矩阵R_1和R_2:
R_i=frac{X_{i}X_{i}^{T}}{traceleft(X_{i}X_{i}^{T}right)} (i=1,2) tag{2}
上式(2)中，X^{T}表示矩阵X的转置，trace(X)表示对矩阵对角线上元素求和。之后求解混合空间的协方差矩阵R:
R=overline{R_1}+overline{R_2} tag{3}
上式中，overline{R_i}(i=1,2)分别为任务1,2的平均协方差矩阵。
2.构造空间滤波器
2.1 正交白化变换求白化特征矩阵P
由于混合空间协方差矩阵R是正定矩阵，由奇异值分解定理进行特征分解：
R=Ulambda U^{T} tag{4}
上式中，U是特征向量矩阵，lambda为对应的特征值的对角阵，按特征值按降序排列，白化转换U可得：
P=frac{1}{sqrt{lambda}}U^{T} tag{5}
2.2 构建空间滤波器
将矩阵P作用于C_1和C_2可得：
S_1=PR_{1}P^{T},S_2=PR_{2}P^{T} tag{6}
S_1、S_2具有公共特征向量，且存在两个对角矩阵lambda_{1}、lambda_{2}和相同的特征向量矩阵B, 对S_1、S_2进行主分量分解，可得：
S_1=B lambda_{1}B^{T}
S_2=B lambda_{2}B^{T} tag{7}
且两个特征值的对角阵lambda_{1}和lambda_{2}之和为单位矩阵：
lambda_{1}+lambda_{2}=I tag{8}
由上式(8)可知，若lambda_{1}中的特征值按照降序排列，则lambda_{2}中对应的特征值按升序排列。由于lambda_{1}、lambda_{2}为S_1、S_2的对角矩阵，所以对于特征向量矩阵B，当S_1有最大的特征值时，S_2具有最小的特征值。因此可以利用矩阵B实现两类问题的分类，由此得到投影矩阵W:
W=B^{T}P tag{9}
投影矩阵W就是对应的空间滤波器。
2.3 特征提取
将训练集的运动想象矩阵X_{L}和X_{R}经过滤波器W滤波可得特征Z_{L}和Z_{R}:
Z_{L}=W times X_{L},Z_{R}=W times X_{R} tag{10}
对于测试数据X_i，其特征向量f_i提取方式如下，
begin{cases} Z_i=W times X_i \ f_i=frac{var(Z_i)}{sum(var(Z_i))}end{cases} tag{11}
将f_i与f_{L}和f_{R}进行比较以确定第i次想象为想象左还是想象右。根据CSP算法在多电极采集脑电信号特征提取的定义，其中f_{L}和f_{R}的定义如下：
f_L=frac{var(Z_L)}{sum(var(Z_L))},f_R=frac{var(Z_R)}{sum(var(Z_R))} tag{12}
Matlab实战
clc; clear; EEGSignals = load('graz_data/CSP_train.mat'); % 加载带通滤波后的脑电数据 %check and initializations EEG_Channels = size(EEGSignals.x_train,2); EEG_Trials = size(EEGSignals.x_train,3); classLabels = unique(EEGSignals.y_train);% Return non-repeating values EEG_Classes = length(classLabels); covMatrix = cell(EEG_Classes,1); % 协方差矩阵 % Computing the normalized covariance matrices for each trial trialCov = zeros(EEG_Channels,EEG_Channels,EEG_Trials); for i = 1:EEG_Trials E = EEGSignals.x_train(:,:,i)'; EE = E*E'; trialCov(:,:,i) = EE./trace(EE); % 计算协方差矩阵 end clear E; clear EE; % 计算每一类样本数据的空间协方差之和 for i = 1:EEG_Classes covMatrix{i} = mean(trialCov(:,:,EEGSignals.y_train == classLabels(i)),3); end % 计算两类数据的空间协方差之和 covTotal = covMatrix{1} + covMatrix{2}; % 计算特征向量和特征矩阵 [Uc,Dt] = eig(covTotal); % 特征值要降序排列 eigenvalues = diag(Dt); [eigenvalues,egIndex] = sort(eigenvalues, 'descend');% 降序 Ut = Uc(:,egIndex); % 矩阵白化 P = diag(sqrt(1./eigenvalues))*Ut'; % 矩阵P作用求公共特征向量transformedCov1 transformedCov1 = P*covMatrix{1}*P'; %计算公共特征向量transformedCov1的特征向量和特征矩阵 [U1,D1] = eig(transformedCov1); eigenvalues = diag(D1); [eigenvalues,egIndex] = sort(eigenvalues, 'descend');% 降序排列 U1 = U1(:, egIndex); % 计算投影矩阵W CSPMatrix = U1' * P; % 计算特征矩阵 FilterPairs = 2; % CSP特征选择参数m CSP特征为2*m个 features_train = zeros(EEG_Trials, 2*FilterPairs+1); features_test = zeros(EEG_Trials, 2*FilterPairs+1); Filter = CSPMatrix([1:FilterPairs (end-FilterPairs+1):end],:); %extracting the CSP features from each trial for t=1:EEG_Trials %projecting the data onto the CSP filters projectedTrial_train = Filter * EEGSignals.x_train(:,:,t)'; projectedTrial_test = Filter * EEGSignals.x_test(:,:,t)'; %generating the features as the log variance of the projected signals variances_train = var(projectedTrial_train,0,2); variances_test = var(projectedTrial_test,0,2); for f=1:length(variances_train) features_train(t,f) = log(variances_train(f)); % features_train(t,f) = log(variances_train(f)/sum(variances_train)); %修改后对应公式 end for f=1:length(variances_test) features_test(t,f) = log(variances_test(f)); %features_test(t,f) = log(variances_test(f)/sum(variances_test)); % 修改后对应公式 end end CSP_Train_feature = features_train(:,1:4); CSP_Test_feature = features_test(:,1:4); save('CSP_feature.mat','CSP_Train_feature','CSP_Test_feature');
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