几种方法判断一个数是否是素数
- 2020 年 4 月 5 日
- 筆記
法一：穷举判断一个数是否是素数
给定一个数n，从2开始自增x，判断n是否被x整除。
x最多自增到n的平方根即可，因为如果有大于n的平方根的值可整除n时，那么其商必定是小于n的平方根的值。
代码如下：
def prime?(n) raise TypeError unless n.kind_of?(Integer) 2.upto(Integer.sqrt(n)) {|x| return false if n % x == 0 } return true end 这里可以稍作改进，可以在自增时自动跳过偶数部分，这可以通过每次自增2实现：
# 2数一跳 def prime?(n) raise TypeError unless n.kind_of?(Integer) return true if n == 2 return false if n % 2 == 0 3.step(Integer.sqrt(n), 2) {|x| return false if n % x == 0 } return true end 给定一个数求出所有小于它的素数
例如给定一个数20，返回所有小于它的素数，即[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17]。
def primes(n) arr = [] 2.upto(n) do |x| arr << x if prime?(x) end arr end 法二：改进的6数一跳的求素数算法
观察一下100以下的所有素数：
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 从5开始，所有的素数都是6的倍数的邻居：
5 = 6 * 1 - 1 7 = 6 * 1 + 1 11 = 6 * 2 - 1 13 = 6 * 2 + 1 17 = 6 * 3 - 1 19 = 6 * 3 + 1 23 = 6 * 4 - 1 # 25 = 6 * 4 + 1 不是素数 29 = 6 * 5 + 1 31 = 6 * 5 + 1 ... 所以有以下结论：
- 表达式
(6n +/- 1)之外的(2,3)是素数 - 从5开始的所有素数都满足表达式
(6n +/- 1)，所有不满足该表达式的都不是素数 - 满足该表达式的不一定是素数
改进的代码：
# 6数一跳 def prime?(n) raise TypeError unless n.is_a? Integer # 2 或 3 是素数 return true if n == 2 or n == 3 # 不是6n +/- 1的数不是素数 return false if n % 6 != 1 and n % 6 != 5 # 满足6n +/- 1的数，还需进一步判断6n两边的数是否是小素数的倍数 5.step(Integer.sqrt(n), 6) do |x| return false if n % x == 0 or n % (x+2) == 0 end true end 法三：继续改进的30数一跳的求素数算法
还可以继续对每次跳6步进行改进。
根据前面的描述，所有的素数都符合6n +/- 1模式，但其实也满足30n +/- 1或30n +/- 7或30n +/- 11或30n +/- 13模式，简记为30n +/- (1,7,11,13)。
例如对于如下素数，从7开始：
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 7 = 30 * 0 + 7 11 = 30 * 0 + 11 13 = 30 * 0 + 13 17 = 30 * 1 - 13 19 = 30 * 1 - 11 23 = 30 * 1 - 7 29 = 30 * 1 - 1 31 = 30 * 1 + 1 37 = 30 * 1 + 7 41 = 30 * 1 + 11 43 = 30 * 1 + 13 47 = 30 * 2 - 13 49 = 30 * 2 - 11 53 = 30 * 2 - 7 59 = 30 * 2 - 1 ... 所以：
- 表达式之外的
2,3,5也是素数 - 不满足表达式
30n +/- (1,7,11,13)的都不是素数 - 满足表达式
30n +/- (1,7,11,13)的不一定是素数，还需判断该数是否能被这些小素数整除
Ruby代码如下：
法四：Ruby官方的素数库
Ruby官方提供了一个名为Prime的库：https://ruby-doc.org/stdlib-2.6.5/libdoc/prime/rdoc/Prime.html
该库使用的是惰性生成器生成素数，所以效率并不高。至少，比上面介绍的两种改进方法要慢的多。
各种方法的效率测试
对法一、法二、法三、法四进行效率测试，比如生成400W以下的所有素数并加入到各自的数组中，比较其时间。
# 每次跳过2 def prime2?(n) raise TypeError unless n.kind_of?(Integer) return true if n == 2 3.step(Integer.sqrt(n), 2) {|x| return false if n % x == 0 } return true end # 每次跳过6 def prime6?(n) raise TypeError unless n.is_a? Integer return true if n == 2 or n == 3 return false if n % 6 != 1 or n % 6 != 5 5.step(Integer.sqrt(n), 6) do |x| return false if n % x == 0 or n % (x+2) == 0 end true end # 每次跳过30 def prime30?(n) raise TypeError unless n.is_a? Integer return true if n == 2 or n == 3 or n == 5 case n % 30 when 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 7.step(Integer.sqrt(n), 30) do |x| return false if n % x == 0 or n % (x + 4) == 0 or n % (x + 6) == 0 or n % (x + 10) == 0 or n % (x + 12) == 0 or n % (x + 16) == 0 or n % (x + 22) == 0 or n % (x + 24) == 0 end return true else false end end # 官方Prime库的prime?() require 'prime' require 'benchmark' prime_official_arr = [] prime2_arr = [] prime6_arr = [] prime30_arr = [] n = 4_000_000 Benchmark.bm(15) do |bm| bm.report("official") do 2.upto(n) do |x| prime_official_arr << x if Prime.prime?(x) end end bm.report("2n") do 2.upto(n) do |x| prime2_arr << x if prime2?(x) end end bm.report("6n") do 2.upto(n) do |x| prime6_arr << x if prime6?(x) end end bm.report("30n") do 2.upto(n) do |x| prime30_arr << x if prime30?(x) end end end p prime_official_arr == prime2_arr p prime_official_arr == prime6_arr p prime_official_arr == prime30_arr 测试结果：
user system total real official 24.656250 0.000000 24.656250 ( 24.711801) 2n 10.515625 0.000000 10.515625 ( 10.526535) 6n 5.562500 0.000000 5.562500 ( 5.578110) 30n 3.703125 0.015625 3.718750 ( 3.713207) true true true 可见，效率最差的是官方库提供的惰性生成模式的Prime.prime?，效率最好的是每次跳30步的。
