坐标系变换数学基础

• 2020 年 4 月 2 日
• 筆記

Matrix

什么是齐次坐标

用[n+1]维数组表示n维坐标的方法叫齐次坐标法(Homogenous coordinate)。

首先，许多图形应用涉及到几何变换，主要包括平移、旋转、缩放。以矩阵表达式来计算这些变换时，平移是矩阵相加，旋转和缩放则是矩阵相乘，综合起来可以表示为p' = m1 * p + m2 注：因为习惯的原因，实际使用时一般使用变化矩阵左乘向量。其中，m1旋转缩放矩阵， m2为平移矩阵，p为原向量 ，p'为变换后的向量。

引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中的乘法和加法，表示为p' = p*M的形式。即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。

其次，它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。对于齐次坐标(a,b,h)，保持a,b不变，|V|=（x1 * x1，y1 * y1, z1 * z1)^1/2的过程就表示了标准坐标系中的一个点沿直线 ax-by=0 逐渐走向无穷远处的过程。

什么是焦距

在照相机中，从镜片光学中心到底片成像平面的距离称为焦距。

距阵转置

设 A=(aij)mn ，则AT= (aij * )mn（其中 (aij*)=(aji) ）叫做A的转置矩阵。

单位矩阵

主对角线上的元素都是1，其余的元素都是零的n阶方阵，叫做n阶单位矩阵，记作E，即

| 1 0 ...  0 |  | 0 1 ...  0 |  | . . ...  0 |  | 0 0 ...  1 |

性质

|E|=1  若A是与E同阶的方阵，则有AE=EA=A 

逆矩阵

如果AB=BA=E,则A与B互为逆矩阵，记作 A=B-1 或 B=A-1

旋转矩阵

旋转矩阵就是一种正交距阵。

正交矩阵

A-1 = AT