LeetCode-300 最长上升子序列

LeetCode_300 最长上升子序列

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给定一个无序的整数数组nums,找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101],它的长度是 4。
说明:

可能会有多种最长上升子序列的组合,你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

思路:

思路一:直接粗暴,O(n^2)动态规划

这个思路比较简单粗暴,定义dp[i]为以[0,i]为区间的,且以nums[i]为尾的最长上升子序列的值。循环遍历数组nums,当遍历到nums[i]时,dp[0]~dp[i-1]都已经算出来了。
那么状态转移方程为:

    dp[i] = max(dp[j])+1;其中  0<=j<=i-1;

代码:

class Solution {  public:      int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {          int n = nums.size();          if(!n)              return 0;          int dp[n];          int ans = 1;          for(int i=0;i<nums.size();i++){              dp[i] = 1;              for(int j=0;j<i;j++){                  if(nums[i]>nums[j]){                      dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);                      ans = max(ans,dp[i]);                  }              }              ans = max(ans,dp[i]);          }          return ans;        }  };

复杂度分析:

时间复杂度:O(n^2),双层遍历

空间复杂度:O(n),需要一个dp数组

思路二:二分+贪心

这个思路比较tricky,不容易想到。
维护一个数组dp,dp[i]表示以i+1为最长上升子序列的最后一个元素,可以证明dp数组是严格递增的。
遍历nums,然后去dp中寻找第一个比nums大的数(这里用到二分查找,查找floor),然后替换它;如果nums>dp.back(),直接将nums添加到dp的末尾;

class Solution {  public:      int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {          int n = nums.size();          if(!n)              return 0;          vector<int> dp;          dp.push_back(nums[0]);          for(int i=1;i<n;i++){              if(nums[i]>dp.back()){                  dp.push_back(nums[i]);              }else{                  int l = 0;                  int r = dp.size()-1;                  while(l<r){                      int mid = l + (r-l)/2;                      if(dp[mid]<nums[i]){                          l = mid+1;                      }else{                          r = mid;                      }                  }                  dp[l] = nums[i];              }          }          return dp.size();      }  };