为什么你学不会递归？谈谈我的经验

• 2022 年 11 月 8 日
• 筆記
• 算法

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前言

大家好，我是小彭。

今天分享到计算机科学中一个基础又非常重要的概念 —— 递归。递归是计算机中特有的概念，你很难在现实世界中找到一个恰当的例子与之关联起来。因此，对于很多初学编程的人，一开始会很难理解。

那么，究竟什么是递归，我们为什么要使用递归？我们今天就围绕这两个问题展开。

学习路线图：

1. 什么是递归？

递归（Recursion）是一种通过 “函数自己调用自己” 的方式，将问题重复地分解为同类子问题，并最终解决问题的编程技巧。

举个例子，要求一个数 $n$ 的阶乘 $n! = n(n-1)(n-2)…2*1$ ，有 2 种思考问题的思路：

• 递推（一般思维）： 我们从 $1$ 开始，用 $1$ 乘以 $2$ 得到 $2!$ 问题的解，用 $3$ 乘以 $2!$ 得到 $3!$ 问题的解。依次类推，直到用 $n$ 乘以 $(n-1)!$ 得到原问题 $n!$ 的解。这就是用递推解决问题，这是相对简单直接的思考方式；
• 递归（计算机思维）： 我们把 $n!$ 的问题拆分为一个 $(n-1)!$ 的问题，如果我们知道 $(n-1)!$ 的解，那么将它乘以 $n$ 就可以得出 $n!$ 的解。以此类推，我们将一个 $(n-1)!$ 的问题拆分为同类型的规模更小的 $(n-2)!$ 子问题，直到拆分到无法拆分，可以直接得出结果 $1!$ 问题。此时，我们再沿着拆分问题的路径，反向地根据子问题的解求出原问题的解，最终得到原问题 $n!$ 的结果。这就是用递归解决问题。

求 n!

从这个例子可以看出， 递归其实是在重复地做 2 件事：

• 1、自顶向下拆分问题： 从一个很难直接求出结果的、规模较大的原问题开始，逐渐向下拆分为规模较小的子问题（从 $n!$ 拆分到 $(n-1)!$），直到拆分到问题边界时停止拆分，这个拆分的过程就是 “递”（问题边界也叫基准情况或终止条件）；
• 2、自底向上组合结果： 从问题边界开始，逐渐向上传递并组合子问题的解（从 $(n-1)!$ 得到 $n!$），直到最终回到原问题获得结果，这个组合的过程就是 “归”。

看到这里你会不会产生一个疑问： 我们直接从问题边界 $1!$ 一层层自底向上组合结果也可以得到 $n!$ 的解，自顶向下拆分问题的过程显得没有必要。确实，对于对于这种原问题与子问题只是 “线性” 地减少一个问题规模的情况，确实是这样。但是对于很多稍微复杂一些的问题，原问题与子问题会构成一个树型的 “非线性” 结构，这个时候就适合用递归解决，很难用递推解决。

举个例子， 求斐波那契数列，这个问题同时也是 LeetCode 上的一道典型例题：LeetCode · 509. 斐波那契数：该数列从 $1$ 开始，每一项数字都是前面两项数字的和。

LeetCode 例题

虽然，我们可以利用递推的方式从 $F(0)$ 和 $F(1)$ 自底向上推导出 $F(n)$ 的解，但是这种非线性的方式在编程语言中很难实现，而使用递归的方式自顶向下地解决问题，在编码上是很容易实现的。

当然，这段代码中存在非常多的重复计算，最终使得整个算法的时间复杂度达到惊人的指数级 $O(2^n)$。例如在计算 $F(5)=F(3)+F(4)$ 和 $F(6)=F(4)+F(5)$ 的时候，$F(4)$ 就被重复计算 2 次，这种重复计算完全相同的子问题的情况就叫 重叠子问题 ，以后我们再专门讨论。

用递归解决斐波那契数列

用递归解决（无优化）

class Solution {
    fun fib(N: Int): Int {
        if(N == 0){
            return 0
        }
        if(N == 1){
            return 1
        }
        // 拆分问题 + 组合结果
        return fib(N - 1) + fib(N - 2)
    }
}

2. 递归的解题模板

• 1、判断当前状态是否异常，例如数组越界，n < 0 等；
• 2、判断当前状态是否满足终止条件，即达到问题边界，可以直接求出结果；
• 3、递归地拆分问题，缩小问题规模；
• 4、组合子问题的解，结合当前状态得出最终解。

fun func(n){
    // 1. 判断是否处于异常条件
    if(/* 异常条件 */){
        return
    }
    // 2. 判断是否满足终止条件（问题边界）
    if(/* 终止条件 */){
        return result
    }
    // 3. 拆分问题
    result1 = func(n1)
    result2 = func(n2)
    ...
    // 4. 组合结果
    return combine(result1, result2, ...)
}

3. 计算机如何实现递归？

递归程序在解决子问题之后，需要沿着拆分问题的路径一层层地原路返回结果，并且后拆分的子问题应该先解决。这个逻辑与栈 “后进先出” 的逻辑完全吻合：

• 拆分问题： 就是一次子问题入栈的过程；
• 组合结果： 就是一次子问题出栈的过程。

事实上，这种出栈和入栈的逻辑，在编程语言中是天然支持的，不需要程序员实现。程序员只需要维护拆分问题和组合问题的逻辑，一次函数自调用和返回的过程就是一次隐式的函数出栈入栈过程。在程序运行时，内存空间中会存在一块维护函数调用的区域，称为 函数调用栈 ，函数的调用与返回过程，就天然对应着一次子问题入栈和出栈的过程：

• 调用函数： 程序会创建一个新的栈帧并压入调用栈的顶部；
• 函数返回： 程序会将当前栈帧从调用栈栈顶弹出，并带着返回值回到上一层栈帧中调用函数的位置。

我们在分析递归算法的空间复杂度时，也必须将隐式的函数调用栈考虑在内。

4. 递归与迭代的区别

递归（Recursion）和迭代（Iteration）都是编程语言中重复执行某一段逻辑的语法。

语法上的区别在于：

• 迭代： 通过迭代器（for/while）重复执行某一段逻辑；
• 递归： 通过函数自调用重复执行函数中的一段逻辑。

核心区别在于解决问题的思路不同：

• 迭代：迭代的思路认为只要从问题边界开始，在所有元素上重复执行相同的逻辑，就可以获得最终问题的解（迭代的思路与递推的思路类似）；
• 递归：递归的思路认为只要将原问题拆分为子问题，在每个子问题上重复执行相同的逻辑，最终组合所有子问题的结果就可以获得最终问题的解。

例如， 在计算 n! 的问题中，递推或迭代的思路是从 1! 开始重复乘以更大的数，最终获得原问题 n! 的解；而递归的思路是将 n! 问题拆分为 (n-1)! 的问题，最终通过 (n-1)! 问题获得原问题 n! 的解。

再举个例子，面试中出现频率非常高的反转链表问题，同时也是 LeetCode 上的一道典型例题：LeetCode 206 · 反转链表。假设链表为 1 → 2 → 3 → 4 → ∅，我们想要把链表反转为 ∅ ← 1 ← 2 ←3 ←4，用迭代和递归的思路是不同的：

• 迭代： 迭代的思路认为，只要重复地在每个节点上处理同一个逻辑，最终就可以得到反转链表，这个逻辑是：“将当前节点的 next 指针指向前一个节点，再将游标指针移动到后一个节点”。
• 递归： 递归的思路认为，只要将反转链表的问题拆分为 “让当前节点的 next 指针指向后面整段子链的反转链表”，在每个子链表上重复执行相同的逻辑，最终就能够获得整个链表反转的结果。

这两个思路用示意图表示如下：

示意图

迭代题解

class Solution {
    fun reverseList(head: ListNode?): ListNode? {
        var cur: ListNode? = head
        var prev: ListNode? = null

        while (null != cur) {
            val tmp = cur.next
            cur.next = prev
            prev = cur
            cur = tmp
        }
        return prev
    }
}

迭代解法复杂度分析：

• 时间复杂度：每个节点扫描一次，时间复杂度为 $O(n)$；
• 空间复杂度：使用了常量级别变量，空间复杂度为 $O(1)$。

递归题解

class Solution {
    fun reverseList(head: ListNode?): ListNode? {
        if(null == head || null == head.next){
            return head
        }
        val newHead = reverseList(head.next)
        head.next.next = head
        head.next = null
        return newHead
    }
}

递归解法复杂度分析：

• 时间复杂度：每个节点扫描一次，时间复杂度为 $O(n)$；
• 空间复杂度：使用了函数调用栈，空间复杂度为 $O(n)$。

理论上认为迭代程序的运行效率会比递归程序更好，并且任何递归程序（不止是尾递归，尾递归只是消除起来相对容易）都可以通过一个栈转化为迭代程序。但是，这种消除递归的做法实际上是以牺牲程序可读性为代价换取的，一般不会为了运行效率而刻意消除递归。

不过，有一种特殊的递归可以被轻松地消除，一些编译器或运行时会自动完成消除工作，不需要程序员手动消除，也不会破坏代码的可读性。

5. 尾递归

在编程语言中，尾调用是指在一个函数的最后返回另一个函数的调用结果。如果尾调用最后调用的是当前函数本身，就是尾递归。为什么我们要专门定义这种特殊的递归形式呢？因为尾递归也是尾调用，而在大多数编程语言中，尾调用可以被轻松地消除 ，这使得程序可以模拟递归的逻辑而又不损失性能，这叫 尾递归优化 / 尾递归消除 。例如，以下 2 段代码实现的功能是相同的，前者是尾递归，而后者是迭代。

尾递归

fun printList(itr : Iterator<*>){
    if(!itr.hasNext()) {
        return
    }
    println(itr.next())
    // 尾递归
    printList(itr)
}

迭代

fun printList(itr : Iterator<*>){
    while(true) {
        if(!itr.hasNext()) {
            return
        }
        println(itr.next())
    }
}

可以看到，使用一个 while 循环和若干变量消除就可以轻松消除尾递归。

6. 总结

到这里，相信你已经对递归的含义以及递归的强大之处有所了解。 递归是计算机科学中特有的解决问题的思路：先通过自顶向下拆分问题，再自底向上组合结果来解决问题。这个思路在编程语言中可以用函数自调用和返回实现，因此递归在编程实现中会显得非常简洁。 正如图灵奖获得者尼克劳斯·维尔特所说：“递归的强大之处在于它允许用户用有限的语句描述无限的对象。因此，在计算机科学中，递归可以被用来描述无限步的运算，尽管描述运算的程序是有限的。”

另外，你会发现 “先拆分问题再合并结果” 的思想与 “分治思想” 相同，那么你认为递归和分治是等价的吗？这个我们下回说。

发现一个 Google 的小彩蛋：在 Google 搜索里搜索 “递归”，提示词里会显示 “您是不是要找：递归”。这就会产生递归的效果的，因为点击提示词 “递归” 后，还是会递归地显示 “您是不是要找：递归”。哈哈，应该是 Google 跟程序员开的小玩笑。

参考资料

• 数据结构与算法分析 · Java 语言描述（第 1 章 · 引论、第 3 章 · 表栈和队列、第 10 章 · 算法设计技巧）—— [美] Mark Allen Weiss 著
• 算法导论（第 4 章 · 分治策略）—— [美] Thomas H. Cormen 等 著
• 算法吧 · 递归 —— liweiwei1419 著
• Recursion (computer science) —— Wikipedia
• Divide-and-conquer algorithm —— Wikipedia
• Iterator —— Wikipedia
• Tail call —— Wikipedia