FMM 大战 LMM – SOFR 企稳 Part II
- 2020 年 2 月 26 日
- 筆記
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引言
本文是金融工程特别系列的第二篇
- FMM 大战 LMM – SOFR 企稳 Part I
- FMM 大战 LMM – SOFR 企稳 Part II
金融工程正规系列
- 弄清量化金融十大话题 (上)
- 弄清量化金融十大话题 (下)
- 金融工程高度概览
- 日期生成
- 变量计算
- 模型校正
- 曲线构建 I – 单曲线
- 曲线构建 II – 多曲线 (基差)
- 曲线构建 III – 多曲线方法 (抵押品)
- 测度转换 (上) – 等价物转换
- 测度转换 (下) – 漂移项转换
- 产品估值理论
- 产品估值 – 解析法和数值积分法 (CF)
- 产品估值 – 偏微分方程有限差分法 (PDE-FD)
- 产品估值 – 蒙特卡洛模拟法 (MC)
- 产品风险理论 (AAD)
- 风险计量 – 敏感度 (Greeks & Sensitivities)
- 风险计量 – 风险价值 (VaR)
- 价值调整 – 凸性调整
- 价值调整 – Quanto 调整
- 价值调整 – 时间调整
- 价值调整 – CVA
- 价值调整 – DVA
- 价值调整 – FVA
- 价值调整 – MVA
- 价值调整 – KVA
前言
在上贴中「FMM 大战 LMM 1」中，我们主要解决了用 RFR 复合利率来替代 IBOR 的痛点，即两者的利率范式都不同
- 前者是后顾型（backward-looking）利率，在终止日才能知道其值
- 后者是前瞻型（forward-looking）利率，在起始日就已经知道其值
解决方案就是设计出一个「前瞻型」的 RFR 复合利率。具体来讲在区间 [Tn-1, Tn] 上用 Fn(t) 来代表这样的前瞻型利率，它和 LIBOR Market Model (LMM) 里的 IBOR Ln(t) 的范式相同，都是在 Tn-1 上定盘，而且利率有效的期限都是 [Tn-1, Tn]。
但在定价利率复杂产品时需要对一连串的 Fn(t) 进行建模，这时我们需要在某个特定测度下推出每个Fn(t) (n = 1, 2, …, N) 的随机微分方程（Stochastic Differential Equation, SDE）。类比 LMM 的叫法，对 Fn(t) 建的模型就叫做 FMM，全称是 Forward Market Model。这就是本帖讲解的内容，目录如下：
目录
第一章 – 基础知识
1.1 延伸版 T-远期测度
1.2 向前看 vs 向后看的即期利率
1.3 向前看 vs 向后看的远期利率
1.4 FMM vs LMM 比较
第二章 – 远期市场模型 FMM
2.1 期限结构
2.2 风险中性测度下的 Fn(t)
2.3 即期测度下的 Fn(t)
2.4 Tk-远期测度下的 Fn(t)
第三章 – RFR 产品估值
3.1 RFR 期货
3.2 RFR 掉期
3.3 RFR 上下限
3.4 RFR 掉期期权
3.5 RFR 期限结构类产品
3.6 RFR 复杂产品
第四章 – FMM 模型校正
4.1 波动率建模
4.2 相关性建模
2
Forward Market Model
2.1
期限结构
首先制定出一组期限结构（tenor structure），供一串远期利率在上面玩耍。
FMM 框架中的远期利率基于一个固定的期限结构 0 = T0 < T1 < … < TN，每个区间的年限为 τn= Tn – Tn-1, n = 1, 2, …, N, 一般是 3 个月或者 6 个月，[Tn-1, Tn] 也称为远期利率 Fn(t) 的累积区间。对于每个时间 t，定义索引函数 η(t) = min{n: Tn ≥ t}，它表示离 t 最近但大于 t 的期限所对应的索引，即 Tη(t)-1 ≤ t < Tη(t).
当我们写出 Fn(t) 的时候，通常假设 n ≥ η(t)，要不然 Fn(t) 已经是常数而失去了模拟的意义。
在 Tn-远期测度下，Fn(t) 是鞅，因此漂移项为零，
，其中
是该测度下的计价物。对于其他计价物 N(t)，我们有以下漂移项转换公式，见「漂移项转换」一贴里的小节 2.4 的结论。
公式 [E1] 特别重要，下面用三种常见的计价物和对应的测度具体化 [E1]。
- N(t) 是银行存款 β(t)，所以 QA 是风险中性测度 Q
- N(t) 是离散银行存款 B(t)，所以 QA 是即期测度 QB
- N(t) 是 Tk 时到期的零息债券 P(t, Tk)，所以 QA 是 Tk-远期测度 QT_k
2.2
风险中性测度下的 Fn(t)
在公式 [E1] 中将 N(t) = β(t)，QN = Q，那么 Fn(t) 在测度 Q 下的漂移项为
之前已推出 β(t) = ~P(t, 0)，既银行存款可看成是到期日为 0 的零息债券
因此我们有
在 Q 测度下，Fn(t) 的 SDE 为
其中 WnQ(t) 是 Q-布朗运动的第 n 个元素。
不难发现 Fn(t) 的漂移项和 F1(t) 到 Fn(t)里的缩放因子 g1(t) 到gn(t)有关系，又由于 gi(t) 在 t > Ti 时等于 0，因此我们在模拟 Fn(t) 时不需要每次从 1 到 n 的设置 i，而只需从 η(t) 到 n，解释如下图。
因此我们可以简化 Fn(t) 的 SDE 为
LMM 中的远期利率在风险中性测度下的漂移项是有跳跃的，因此我们只能用即期测度来近似它，但是 FMM 中的远期利率在风险中性测度下的漂移项是没有跳跃，验证如下。
2.3
即期测度下的 Fn(t)
在公式 [E1] 中将 N(t) = B(t)，QN = QB，那么 Fn(t) 在测度 QB 下的漂移项为
离散银行存款 B(t) 的公式可以从 T0 累积（accumulate）到 Tη(t)，再从 Tη(t) 折现（discount）到 t，如下图所示
那么 B(t) 的公式为
将 B(t) 带入最上面公式的对数项。为了简化之后的推导，我们提出和 t 无关的项作为 C。
因此我们有
在 QB 测度下，Fn(t) 的 SDE 为
其中
是 QB-布朗运动的第 n 个元素。
在 LMM 框架中，我们通常用 QB 测度来近似 Q 测度，因此无法量化两者之间的差距，但在 FMM 框架中，我们可以量化。比较在 Q 测度和 QB 测度下的漂移项，发现两者只差一项，解释如下。
2.4
Tk-远期测度下的 Fn(t)
在公式 [E1] 中将 N(t) = P(t,Tk)，QN = QT_k，那么 Fn(t) 在测度 QT_k 下的漂移项为
和前面推导过程相似，我们用 Fi(t) 带表示远期折现因子。
因此我们有
在 QT_k 测度下，Fn(t) 的 SDE 为
其中
是 QT_k-布朗运动的第 n 个元素。
本帖推导出了 Fn(t) 在三种测度下的 SDE，表面上看起来很复杂，实际只要你记住那么通用的漂移项转换公式 [E1]，并且知道每个测度对应的计价物，再想办法用 Fn(t) 来表示计价物，之后的推导水到渠成。
下帖是重头戏，我会一顿操作猛如虎啊的讲解各种和 RFR 挂钩的衍生品的定价。
