经典干货｜相机模型与张氏标定

视觉测量使用的日益广泛和频繁，对于基础知识的学习是掌握机器视觉的学习的关键；本文针对成像模型，坐标系转换和相机标定等知识进行简介。
虽然网上相关资料很多，但是本人在学习过程中同样为某些概念所困扰，写下学习总结一方面希望通过本文能为初学者解答相关概念，另一方面希望能够作为总结，加深自身印象。
文章包含 3 大部分，第一部分介绍相机成像模型，针对小孔成像原理和透视成像原理进行描述；第二部分介绍成像过程中的四个坐标系和三次坐标转换；第三部分介绍使用最多的自由平面相机标定法：张氏标定法；
成像简介
在实际成像过程中，经常会使用针孔模型作为相机成像模型的近似；针孔成像的原理：现实世界源于物体的光线穿过针孔，在底板上投影成一幅倒立的图像；
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图一：针孔成像原理
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图二：左图为2维针孔成像模型；右图为透视投影模型
对针孔模型进行二维化简，可以看出物体光线经过小孔后成倒立的像；但是成倒立的像表述比较口；因此对小孔成像进行化简成右图的形式，右图也称为透视投影模型；透视成像模型与小孔模型相比，光心位于成像平面的后方，成正立的实像，更符合实际成像过程；
透视投影将三维空间点投影到二维平面上，对于三维空间中一点，与相机光心，投影点三点连线在同一条线上；后续我们将使用透视投影模型作为成像分析的基础。
坐标系转换
在投射投影模型中成像具有以下几个过程，涉及到 4 个坐标系之间的三个转换：
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图三：相机成像过程
坐标系介绍
1.空间三维坐标系
三维空间坐标系即世界坐标系，是一个绝对的坐标系，所有三维点在世界坐标系下能够反映各自的位置关系；世界坐标系的原点是不固定的，随着应用场景不同，世界坐标系原点不同；在相机标定过程中，世界坐标系置于标定板的棋盘格的左上端。
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图四：世界坐标系
世界坐标系和相机三维坐标系都是三维坐标系，但是坐标系原点不同；两个三维坐标系可通过平移和旋转进行相互转换；物理意义：一个三维点在世界坐标系下的坐标可通过平移和旋转，转换到另一个不同原点的三维坐标系下。
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图五：平移和旋转转换三维坐标系
假设世界坐标系下物体点 P 的坐标( Xw, Yw, Zw)，经过旋转矩阵 R 和平移矩阵 t 变换后，转换为相机坐标系下坐标( Xc, Yc, Zc )，则转换过程可表为：
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用矩阵表达：
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图片是相机模型的外参
2.相机三维坐标系
相机坐标系是以相机光心 O 为原点的三维坐标系，世界坐标系下的三维点通过欧式变换(平移和旋转)，可转换到相机坐标系中；相机坐标系的点到图像坐标系的点，通过透视变换进行转换；其中图像坐标系是一个二维坐标系，可理解为相机坐标系中距离相机光心 距离为f(Zc=f) ，与光心 Zc=0平 面平行的一个平面；
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图六：透视变换
将所有相机光心的坐标投影到 Zc=f 的平面上则：
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矩阵形式：
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3.图像坐标系
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图七：图像坐标系
图像坐标系（ Zc = f 的平面）是二维坐标系，描述相机坐标系中投影点在图像上的投影位置，一般坐标中心在相机Zc坐标轴上，xy坐标轴分别与相机坐标系中 XY轴平行；图像坐标系描述透视变换后空间点在图像上成像的位置坐标；
4.像素坐标系
图像坐标 （x,y） 转换到像素坐标 (u,v) ，通过量化像素大小，计算投影点所在的像素位置；其中单个像素在x轴上的大小dx，y轴上的大小dy；一般在摄影测量中像素坐标系的原点在左下方；计算机视觉中像素坐标系的原点在左上方；本文以计算机视觉为准，原点在左上方如图7所示；
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使用矩阵的形式表达：
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为了获取齐次坐标，最后一行可以添加 1 进行补充；
由于存在加工误差，像素不是绝对的矩形，是平行四边形形状；引入倾斜因子 图片
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图八：像素倾斜
此时公式(3)可描述成图片，在实际标定过程中有时可认为 s=0，进行省略。 
成像过程介绍
联立(1)(2)(3)式可以获得，世界坐标系一点P(Xw,Yw,Zw) 到像素坐标的计算过程：
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通过推导相机模型，知道相机的内参 K 和外参[R t]，下面将介绍如何求解相机内参和外参；对于相机标定我们介绍张氏标定；后续会出相机标定的专题，介绍 DLT 直接线性求解法，Tsai 两步法等常见的标定方法，畸变矫正方法以及相关的非线性优化知识等。
张氏标定求解基础知识
相机标定，是使用大量观测值进行参数模型拟合的过程，在此拟合的参数模型是已知的，所以尽可能探索获取大量观察值的方案，如果观测值之间还满足一些其他的几何约束，就更有助于求解具体单个参数值；
张氏标定是一种提供观察值的方案，同时观察值之间还满足一定的几何约束(平面约束)；
假设某图像上坐标m=图片，齐次表达式m̅ =图片，世界坐标系一点坐标𝑀=图片，齐次形式M̅=图片；
则相机模型为：
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其中s为尺度因子，外参[Rt]，内参矩阵A
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其中图片为焦距的值（像素为单位），(u0,v0)为像主点坐标（像素单位）；图片为像元轴的倾斜因子；
使用张氏标定时，世界坐标系固定在标定板上，且Z=0：
因此：
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又由于：
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张氏标定通过观察置于一个平面的标定图像，获取图片与图片的映射关系单应性矩阵H，然后计算内参和外参的过程。
求解过程：近似解
定义：
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则：
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推导出：
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由于 r1, r2 是正交矩阵的列向量，两两正交且为单位向量；
则具有如下两个约束：
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则：
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令：
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注意到B是对称矩阵，可用6维向量表示：
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已知 1 个单应性矩阵提供 2 个约束，线性方程组 b 有 6 个未知数(5 个内参+1 个尺度因子)，
n>=3 个单应性矩阵可求取全部未知数；
n=2 时，令 γ=0，此时添加一个约束：
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n=1 时可计算两个内参 α 和 β，此时要求 u0 和 v0是已知的；
由矩阵图片，内参矩阵可通过 B 矩阵进行求解：
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求取内参之后，根据内参矩阵 A 矩阵获取外参：
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不足和改进
对于上面的解法，都在旋转矩阵 R=图片是正交矩阵约束下求解的；
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但是实际上由于噪声和干扰的存在，旋转矩阵不一定是正交的，因此此种计算方式获取的内参和外参有一定的误差；为了获取较精准的结果，可通过先对旋转矩阵 R 求取最接近的正交矩阵，
计算
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式中R为要求的旋转矩阵，Q为上式中初步求取的含噪声的旋转矩阵；
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公式（15）计算最小的F范数转换成获取最大的图片矩阵的迹。
对 Q 矩阵进行奇异值分解为图片,其中S=图片。此时定义一个正交矩阵 Z，则Z=图片,则
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从等式中可以计算当图片存在最大值，此时Z=I为公式(15)的解。
最大似然估计
上面的通过最小化代数几何获取的近似解求取的参数矩阵，不具有物理意义；通过最大似然估计进行计算精确值；上述计算的结果存在噪声，以旋转矩阵为正交举证为假设的前提进行计算的，虽然通过计算图片获取了最接近的正交旋转举证，但是前面的计算已经包含了误差的影响，对于高精度的结果影响较大，下面需要通过非线性优化进行计算相机参数模型的精确解；
我们通过获取的n张图片，每张图片上面m个模型点。假设图片上的点具有随机正态分布的噪声点；则最大似然估计结果由下面的最小化公式获取：
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其中图片中，图片为第 i 张图片中三维空间中的投影点。旋转矩阵R 由一个三维向量进行参数化参与计算，三维向量与旋转轴平行，数值与旋转角大小一致；矩阵 R 和向量 r 通过罗德里格斯公式进行计算。最小化的过程是一个非线性最小化问题，根据 Levenberg-Marquardt 算法进行求解；求解过程中需要给定初始值A，图片，可将上面计算的近似解作为初始值使用。
畸变系数矫正
到目前为止，我们还未考虑畸变情况，所有推导都是无畸变的理想状态；对视对于便携式镜头的畸变是不可忽略的，广角镜头和鱼眼镜头畸变更大，尤其是径向畸变；在本节中我们将讨论畸变情况，一般只考虑2项径向畸变图片，3 项切向畸变图片；在实际效果中，对像素畸变大小的影响排序：图片图片
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图九：畸变图像
径向畸变是由于镜头自身凸透镜的固有特效造成，光线在远离透镜中心的地方比靠近中心的地方更加弯曲，因此镜头的畸变与距离镜头中心距离有关；
畸变是影响镜头透视成像结果，对于透视成像无畸变坐标(x,y)，施加畸变后成像坐标图片，则
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其中：图片，表示距离镜头中心的距离；
对于透视变换的畸变对像素坐标的影响，无畸变的理想像素(𝑣,𝑤)，经过畸变影响后位置图片；由公式可知，像素坐标和相机坐标的变换关系：
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假设图片，则畸变对像素坐标影响的数学模型为：
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切向畸变是由于透镜和 CCD 的安装位置误差导致。因此，如果存在切向畸变，一个矩形被投影到成像平面上时，很可能会变成一个梯形。切向畸变需要两个额外的畸变参数来描述，矫正前后的像素坐标关系为：
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综述我们一般使用 5 个畸变参数来描述透镜畸变，对于高精度测量，可选用更多项畸变系数进行畸变描述和校正；
则最终含有5项畸变系数的标定模型：
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至此张氏标定理论部分基本已经讲完，后续将会介绍实践部分和精度影响。
张氏标定进行总结
1. 打印一个标定棋盘格，棋盘格粘贴在平面上；(进行高精度标定，可在陶瓷板上面达标棋盘格)
2. 移动棋盘格进行拍摄图片，为了获取最佳标定结果，一般拍摄 10 张以上图片会更好；
3. 提取图片中的角点坐标m（u，v)；
4. 通过近似解估计内参和外参结果；
5. 使用线性最小二乘法估算畸变系数；
6. 最小化所有参数；
实验部分
实验部分使用α和β的相对误差及u0和v0的绝对误差探究0均值高斯噪声，标定图片数量以及标定平面倾斜角度对误差的影响结果；
1. 高斯噪声对标定结果的影响
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3个确定位置的平面进行标定，对不同的标定图片施 0均值不同σ的高斯噪声，则α和β的相对误差及u0 和v0的绝对误差线性变化，数值从0.1pixel到 1.5pixel；说明随着高斯噪声的σ越大对误差的影响越大；
2. 标定图片数量对结果影响
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随着标定图片数量的增加，相对误差和绝对误差的数值越来越低，因此一般标定建议标定数量至少10张图片；
3. 标定平面倾斜角度对结果的影响
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当两幅图片只具有位移，没有旋转时，外参不会分别产生约束，两个单应矩阵具有一定的转化关系，此时两张图片产生退化配置，只有一张图片提供外参约束；因此在标定板移动时，旋转角度要大一些，实验探究旋转角度对标定结果的影响；当两幅图片的旋转角度小于 5°时，产生退化配置，标定误差非常大；一般建议移动标定板时，角度 45°和 70°之间最佳；
总结
本文介绍相机的成像模型以及常见的 2 维平面标定方法，介绍小孔成像模型以及透视成像模型，成像过程中 4 个坐标系和 3 次坐标系变换，以及常见的 2D平面标定法，张氏标定的相关介绍；本文的来源参考网上的知识进行相关知识的总结，后续也将推出视觉测试方面的连载系列博客；如果能够为同学解答一些小的疑惑，本人将无比荣幸；本人知识有限，写作手法生疏，如果有些地方描述不清晰烦请指教，本人将在下次写作中改正；欢迎各位同学进行相关知识交流。
参考文献
1.  Z. Zhang, “A flexible new technique for camera calibration,” in IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 22, no. 11, pp. 1330-1334, Nov. 2000,doi: 10.1109/34.888718.
2.//blog.csdn.net/rs_lys/article/details/113248118.
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