C++经典算法题-约瑟夫问题

• 2020 年 2 月 13 日
• 筆記

26.Algorithm Gossip: 约瑟夫问题（Josephus Problem）

说明

据说着名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人到，于是决定了 一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人 开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀， 然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。

然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

解法

约瑟夫问题可用代数分析来求解，将这个问题扩大好了，假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您与您的朋友？只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆圈内圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示：

使用程式来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在阵列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直而计数达41为止，然后将阵列由索引1开始列出，就可以得知每个位置的自杀顺序，这就是约瑟夫排列，41个人而报数3的约琴夫排列如下所示：

14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12  22 33 13 29 23

由上可知，最后一个自杀的是在第31个位置，而倒数第二个自杀的要排在第16个位置，之前的人都死光了，所以他们也就不知道约琴夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。

#include<stdio.h>  #include<stdlib.h>  #define N 41  #define M 3        int main(void) {          int man[ N] ={              0          } ;          int count = 1;          int i = 0, pos = -1;          int alive = 0;            while (count <= N) {              do {                  pos = (pos + 1) % N; // 环状处理                    if (man[pos] == 0) i++;                    if (i == M) {    //  报数为3了                      i = 0;                      break;                  }              } while (1);                man[pos] = count;              count++;          }            printf("n约琴夫排列：");          for (i = 0; i < N; i++)              printf("%d ", man[i]);          printf("nn您想要救多少人？");          scanf("%d", & alive);            printf("nL表示这%d人要放的位置：n", alive);          for (i = 0; i < N; i++) {              if (man[i] > alive) printf("D");              else printf("L");              if ((i + 1) % 5 == 0) printf("	");          }          printf("n");          return 0;      }