DirectX11 With Windows SDK–39 阴影技术（VSM、ESM）
- 2022 年 5 月 14 日
- 筆記
- DirectX 11, DirectX11 With Windows SDK, DirectX11 高级篇, Windows SDK
前言
上一章我们介绍了级联阴影贴图。刚开始的时候我尝试了给CSM直接加上PCSS，但不管怎么调难以达到说得过去的效果。然后文章越翻越觉得阴影就是一个巨大的坑，考虑到时间关系，本章只实现了方差阴影贴图(VSM)和指数阴影贴图(ESM)作为引子，然后将相关扩展放在文末。
现在假定读者已经读过下面的内容：
| 章节 |
|---|
| 38 级联阴影贴图 |
DirectX11 With Windows SDK完整目录
欢迎加入QQ群: 727623616 可以一起探讨DX11，以及有什么问题也可以在这里汇报。
Variance Shadow Map
关于Shadow Mapping，我们可以将比较深度的过程用这样一个函数表示：\(H(d_o-d_r)\)。其中\(d_r\)是receiver的深度，\(d_o\)是occluder的深度。很明显，当\(d_o-d_r<0\)时，\(H(d_o-d_r)=0\)；\(d_o-d_r\geq0\)时，\(H(d_o-d_r)=1\)。
将该函数拆分成occluder项和receiver项，有利于我们对occluder项使用图片空间的模糊或者硬件mipmap进行pre-filter处理以用于软阴影。并且由于我们将要改变阴影测试的方法，就不再需要为了缓解shadow acne(阴影粉刺)而使用Depth bias。
受到Deep Shadow Maps的启发，可以使用概率表示的方式。给定当前receiver的深度值，occluder的深度值现在表示为一个随机变量：
\]
上式变成了一个概率分布函数，判断当前像素位于阴影中的概率。
假设occluder近似满足单峰分布，那么它可以由均值和方差表示。这两者可通过一阶矩(moment)和二阶矩所派生：
\sigma^2=E(d_o^2)-E(d_o)^2
\]
其中一阶矩和二阶矩由下面的公式计算：
E(x^2)=\int x^2p(x)dx
\]
本质上就是对shadow map做一个滤波（如盒型滤波或高斯滤波等）：
E(d_o^2)\approx\sum w_i d_i^2
\]
在算出均值和方差后，紧接着我们就可以根据切比雪夫不等式来找出\(P(d_o\geq d_r)\)的上界：
\]
当\(\sigma^2=0, \mu=d_r\)时，上式未定义，为此可以在分子分母同时加上一个极小量\(\epsilon\)，或者是\(\sigma^2<\epsilon\)时直接让\(\sigma^2:=\epsilon\)。此时没有遮蔽的话值为1； 产生遮蔽的话值接近0。
看上图，黑点所属的区域完全被Occluder遮蔽，因此\(\sigma^2=0, \mu < d_r, p_{max}(d_r)\approx 0\)
红点所属的区域部分被Occluder遮蔽，有\(\sigma^2>0, \mu < d_r\)，且红点越往右靠，\(p_{max}(d_r)\)越接近1
蓝点所属的区域没有遮蔽，因此\(\sigma^2=0, \mu = d_r, p_{max}(d_r)=1\)
根据上式我们可以写出如下HLSL代码：
float ChebyshevUpperBound(float2 moments,
float receiverDepth,
float minVariance,
float lightBleedingReduction)
{
float variance = moments.y - (moments.x * moments.x);
variance = max(variance, minVariance); // 防止0除
float d = receiverDepth - moments.x;
float p_max = variance / (variance + d * d);
// 单边切比雪夫
return (receiverDepth <= moments.x ? 1.0f : p_max);
}
对VSM滤波
而为了能够获得\(d_o\)和\(d_o^2\)，显然我们不能靠深度图来缓存，而需要额外的R32G32_FLOAT纹理来记录。如果只是单纯为了记录\(d_o\)和\(d_o^2\)，可以在绘制深度图的同时将\(d_o\)和\(d_o^2\)写入到RTV上。
而由于我们最终要使用的是\(E(d_o)\)和\(E(d_o^2)\)，我们可以对其进行一个pre-filter的处理，具体包括：
- 使用MSAA记录更多深度
- 使用盒型滤波或高斯滤波处理方差阴影贴图
- 使用mipmap
而采样的时候我们可以对方差阴影贴图使用各种方式，比如点采样、线性采样、各向异性采样。
下面的代码展示的是深度图开启或关闭MSAA时，可以在全屏绘制阶段进行一个Resolve来进行一个pre-filter的处理：
// Shadow.hlsl
Texture2DMS<float, MSAA_SAMPLES> g_ShadowMap : register(t0); // 用于VSM生成
float2 VarianceShadowPS(float4 posH : SV_Position,
float2 texCoord : TEXCOORD) : SV_Target
{
float sampleWeight = 1.0f / float(MSAA_SAMPLES);
uint2 coords = uint2(posH.xy);
float2 avg = float2(0.0f, 0.0f);
[unroll]
for (int i = 0; i < MSAA_SAMPLES; ++i)
{
float depth = g_ShadowMap.Load(coords, i);
avg.x += depth * sampleWeight;
avg.y += depth * depth * sampleWeight;
}
return avg;
}
为了更近一步考虑周围像素的深度，可以使用屏幕空间滤波获得\(E(d_o)\)和\(E(d_o^2)\)，使用盒型滤波或高斯滤波都可以：
// Shadow.hlsl
#ifndef BLUR_KERNEL_SIZE
#define BLUR_KERNEL_SIZE 3
#endif
static const int BLUR_KERNEL_BEGIN = BLUR_KERNEL_SIZE / -2;
static const int BLUR_KERNEL_END = BLUR_KERNEL_SIZE / 2 + 1;
static const float FLOAT_BLUR_KERNEL_SIZE = (float)BLUR_KERNEL_SIZE;
Texture2D g_TextureShadow : register(t1); // 用于模糊
SamplerState g_SamplerPointClamp : register(s0);
float2 VSMHorizontialBlurPS(float4 posH : SV_Position,
float2 texcoord : TEXCOORD) : SV_Target
{
float2 depths = 0.0f;
[unroll]
for (int x = BLUR_KERNEL_BEGIN; x < BLUR_KERNEL_END; ++x)
{
depths += g_TextureShadow.Sample(g_SamplerPointClamp, texcoord, int2(x, 0));
}
depths /= FLOAT_BLUR_KERNEL_SIZE;
return depths;
}
float2 VSMVerticalBlurPS(float4 posH : SV_Position,
float2 texcoord : TEXCOORD) : SV_Target
{
float2 depths = 0.0f;
[unroll]
for (int y = BLUR_KERNEL_BEGIN; y < BLUR_KERNEL_END; ++y)
{
depths += g_TextureShadow.Sample(g_SamplerPointClamp, texcoord, int2(0, y));
}
depths /= FLOAT_BLUR_KERNEL_SIZE;
return depths;
}
其中Sample的可选第三个参数offset用来控制采样行为，往x方向和y方向偏移多少个像素单位，其范围只能在[-8, 7]，超过这个范围编译就会报错。你也可以不使用offset，改为额外提供宽高信息来求texel的uv offset。
最后在绘制完所有级联的方差阴影贴图后，我们可以选择是否使用GenerateMips。
漏光(Light Bleeding)
VSM最大的问题在于漏光现象，见下图（不得不说这漏光是真的严重）。
我们固定\((\mu-d_r)^2\)的值（非0）来观察随着\(\sigma^2\)变化，\(p_{max}(d_r)\)的函数图像：
随着方差的增大，\(p_{max}(d_r)\)逐渐变大，这是造成漏光现象的主要原因。方差较大的情况可以参考下图：
从shadow map的视角来看，中间的区域遮挡物深度值发生了很大的跳变，求得的平均值在两个遮挡物之间，而平均值与遮挡物都距离较远，导致方差很大，从而出现漏光现象。同理，如果遮挡物或者接受物的平面与光路接近平行，也会产生大的方差值，导致漏光现象的出现。因此，在简单的场景下应让光路与尽可能多的平面垂直。但对于复杂的场景来说，仅调整光线方向并不能解决问题，不得不吐槽发电厂这个模型简直就是各路算法的埋葬场。
但如果我们尝试增加更多采样来解决这个问题，那又会牺牲效率，那还不如使用PCF。因为使用VSM等基于概率的阴影算法是相比于传统PCF的效率较高，当然代价是在极端情况下带来的物理不准确性。
减少漏光的近似算法
如果receiver的深度值为\(z\)，且它被某个滤波区域完全阻挡，那么有\(d_o-d_r<0, (z-d)^2>0, p_{max}<1\)，即该表面永远接受不到满光照的强度
我们可以修改\(p_{max}\)的值，让其在低于某个\(amount\in[0, 1]\)值的时候直接归零，然后将\([amount,1]\)重新映射到\([0,1]\)：
float Linstep(float a, float b, float v)
{
return saturate((v - a) / (b - a));
}
// 令[0, amount]的部分归零并将(amount, 1]重新映射到(0, 1]
float ReduceLightBleeding(float pMax, float amount)
{
return Linstep(amount, 1.0f, pMax);
}
当然，我们也可以向VarianceShadows11的例子中，对\(p_{max}\)套上一个幂指数，然后通过这个幂指数来控制漏光。
现在求\(p_{max}\)的方法变成了：
float ChebyshevUpperBound(float2 moments,
float receiverDepth,
float minVariance,
float lightBleedingReduction)
{
float variance = moments.y - (moments.x * moments.x);
variance = max(variance, minVariance); // 防止0除
float d = receiverDepth - moments.x;
float p_max = variance / (variance + d * d);
p_max = ReduceLightBleeding(p_max, lightBleedingReduction);
// 单边切比雪夫
return (receiverDepth <= moments.x ? 1.0f : p_max);
}
使用梯度对级联阴影采样
在使用梯度采样级联阴影时，可能会在两个级联的边界区域出现下图所示的问题。
使用各项异性滤波由于动态流控制导致在级联之间出现的接缝
采样指令使用像素之间的导数来计算mipmap等级，也被各项异性过滤所需。这可能会在各项异性过滤或mipmap选择的时候引发问题。当2×2像素块在像素着色器中使用不同的分支时，GPU硬件计算出的导数是不合理的。这会导致在级联边缘出现跳变。
该问题可以通过计算光照空间下位置的偏导来解决；光照空间的坐标并没有指定所选的级联。计算出的导数可以变换到对应级联所属的投影纹理空间，从而可以求出正确的mipmap等级或被各项异性过滤使用：
float CalculateVarianceShadow(float4 shadowTexCoord,
float4 shadowTexCoordViewSpace,
int currentCascadeIndex)
{
float percentLit = 0.0f;
float2 moments = 0.0f;
// 为了将求导从动态流控制中拉出来，我们计算观察空间坐标的偏导
// 从而得到投影纹理空间坐标的偏导
float3 shadowTexCoordDDX = ddx(shadowTexCoordViewSpace).xyz;
float3 shadowTexCoordDDY = ddy(shadowTexCoordViewSpace).xyz;
shadowTexCoordDDX *= g_CascadeScale[currentCascadeIndex].xyz;
shadowTexCoordDDY *= g_CascadeScale[currentCascadeIndex].xyz;
moments += g_TextureShadow.SampleGrad(g_SamplerShadow,
float3(shadowTexCoord.xy, (float) currentCascadeIndex),
shadowTexCoordDDX.xy, shadowTexCoordDDY.xy).xy;
percentLit = ChebyshevUpperBound(moments, shadowTexCoord.z, 0.00001f, g_LightBleedingReduction);
return percentLit;
}
优缺点总结
VSM具有如下优点：
- 可以使用图片空间blur或硬件filtering来产生软阴影
- 不需要处理shadow acne问题，因此也不需要引入depth bias
但它也有如下缺点：
- 需要原来深度图占用显存空间的两倍来存放\(d_o\)和\(d_o^2\)
- 在具有高方差分布的区域容易产生漏光（Light Bleeding）
- 大卷积核滤波会使漏光现象更加严重（因为方差值变大了）
Exponential Shadow Map
指数阴影贴图的核心公式如下：
\]
在固定\(c\)的情况下，随着occluder逐渐远离receiver，\(d-z\)从0向负数变动，对应的函数图像如下：
为此我们可以将上式拆分成\(e^{cd}\)和\(e^{-cz}\)项。深度图负责前面一项，receiver可以得到后一项。
这种表示的好处在于简单，并且和VSM一样，可以对\(e^{cd}\)项进行blur，并且没有shadow acne的问题。而相比于VSM，它只需要存一项就可以用。
上图中的\(c=20\)，可以看出，如果\(d\)和\(z\)比较接近的话仍然会出现比较严重的漏光，为此需要让c的值变得更大。下图是\(c=100\)的效果：
但深度图直接保存\(e^{cd}\)的话会面临一个严重的问题：浮点数的表示范围是有限的，到\(e^{88}\)的时候就已经接近浮点表示的上界了，\(c\)值过大则无法表示左边部分的范围。而为了能够产生跟一开始那张函数图接近跳变的效果，需要让c能够表示得更大，否则在\(d-z\)逼近0的时候误差会很大。
提升精度
前面提到如果\(c\)太大，\(e^{cd}\)可能会超过float的表示上界，但\(c(d-z)\)本身远小于\(cd\)，不容易越界。在不需要blur的情况下只需要在shadow map生成的时候保存d或者cd即可。
但可以blur也是ESM的优点之一，为此我们需要在blur的部分进行改进。在Lighting Research at Bungie中，提到了一种指数空间滤波的方式。首先对N个样本的加权求和有：
e^{cd_{o_0}}(w_0+\sum_{i=1}^Nw_i e^{c(d_{o_i}-d_{o_0})})\\
&=e^{cd_{o_0}}\cdot e^{ln(w_0+\sum_{i=1}^Nw_i e^{c(d_{o_i}-d_{o_0})})}\\
&=e^{cd_{o_0} + ln(w_0+\sum_{i=1}^Nw_i e^{c(d_{o_i}-d_{o_0})})}
\end{aligned}
\]
即我们只需要在blur的时候求出即可：
\]
HLSL代码
指数阴影贴图相关的HLSL代码如下：
float ESMLogGaussianBlurPS(float4 posH : SV_Position,
float2 texcoord : TEXCOORD) : SV_Target
{
float cd0 = g_TextureShadow.Sample(g_SamplerPointClamp, texcoord);
float sum = g_BlurWeights[FLOAT_BLUR_KERNEL_SIZE / 2] * g_BlurWeights[FLOAT_BLUR_KERNEL_SIZE / 2];
[unroll]
for (int i = BLUR_KERNEL_BEGIN; i < BLUR_KERNEL_END; ++i)
{
for (int j = BLUR_KERNEL_BEGIN; j < BLUR_KERNEL_END; ++j)
{
float cdk = g_TextureShadow.Sample(g_SamplerPointClamp, texcoord, int2(i, j)) * (float) (i != 0 || j != 0);
sum += g_BlurWeights[i - BLUR_KERNEL_BEGIN] * g_BlurWeights[j - BLUR_KERNEL_BEGIN] * exp(cdk - cd0);
}
}
sum = log(sum) + cd0;
sum = isinf(sum) ? 84.0f : sum; // 防止溢出
return sum;
}
//--------------------------------------------------------------------------------------
// ESM：采样深度图并返回着色百分比
//--------------------------------------------------------------------------------------
float CalculateExponentialShadow(float4 shadowTexCoord,
float4 shadowTexCoordViewSpace,
int currentCascadeIndex)
{
float percentLit = 0.0f;
float occluder = 0.0f;
float3 shadowTexCoordDDX = ddx(shadowTexCoordViewSpace).xyz;
float3 shadowTexCoordDDY = ddy(shadowTexCoordViewSpace).xyz;
shadowTexCoordDDX *= g_CascadeScale[currentCascadeIndex].xyz;
shadowTexCoordDDY *= g_CascadeScale[currentCascadeIndex].xyz;
occluder += g_TextureShadow.SampleGrad(g_SamplerShadow,
float3(shadowTexCoord.xy, (float) currentCascadeIndex),
shadowTexCoordDDX.xy, shadowTexCoordDDY.xy).x;
percentLit = saturate(exp(occluder - g_MagicPower * shadowTexCoord.z));
return percentLit;
}
这样就把receiver和occluder之间深度的矛盾，转移到了occluder与相邻occluder之间深度的矛盾了。但如果相邻occluder之间的深度差很大，依然开不了很大的c。由于级联的Near/Far与发电厂尽可能贴近，在发电厂中可能存在相邻occluder之间的深度差接近0.5，那么此时c开到180就会溢出了。而上面的代码虽然能够防止溢出，却会导致出现下图的锯齿现象（类似于回到没开模糊的情况）：
由于深度值已经位于线性空间，那么c值一定会有一个随深度差最大值变化的上界。这时候更多需要依赖于手工调整。
优缺点总结
ESM具有如下优点：
- 可以使用图片空间blur或硬件filtering来产生软阴影，也不需要开很大的Blur
- 不需要处理shadow acne问题，因此也不需要引入depth bias
- 相比VSM只需要用1个float
但它也有如下缺点：
- 为了提升精度需要用特定的Blur，并且没法缩减成水平和竖直方向的Blur
- 邻近像素深度变化较大的话c的大小会受限
后记
阴影本身就是一个巨大的坑。实际上搞这两章阴影就已经搞掉我很长时间了，加上中间还要忙各种事情，再往后的阴影效果现在暂时也没有耐心去实现，也许以后还会回来添砖加瓦。总体来说，VSM和ESM这些尝试拟合最开头图像函数的方法都难以避免出现漏光的问题，对于具有复杂深度的场景表现不尽如人意。这些方法可以放在级联等级较大，即距离较远的地方，当然也有人在远距离尝试使用距离场，这些都是遥远的后话了。
建议读者直接打开项目进行尝试，这里只解释部分可调参数的含义：
VSM
- Shadow MSAA：记录阴影图时开启MSAA，然后生成VSM的时候进行Resolve
- Light Bleeding：将
[0, amount]映射到0，将[amount, 1]映射到[0, 1] - Enable Mipmap：级联阴影开启mipmap
- Sampler：采样VSM使用的滤波
ESM
- Blur Sigma：Log高斯滤波用于控制权重分散情况
- Magic Power：控制\(e^{cd}\)和\(e^{cz}\)的c项
GPU Profile那边开Release来查看各个Pass下。至于EVSM和MSM等，可以尝试跑TheRealMJP/Shadows的项目，但需要一些动手修改的能力，它那边可以调的参数更多。
参考与扩展阅读材料
如果有兴趣的话可以了解下面这些内容，当然肯定是有我没注意到的。
Fixed-Size Penumbra
- PCF(Percentage Closer Filtering)
- VSM(Variance Shadow Maps, 2006)
- LVSM(Layered Variance Shadow Maps)
- ESM(Exponential Shadow Maps, 2008)
- EVSM(Exponential Variance Shadow Maps)
- MSM(Movement Shadow Maps, 2015)
- Virtual Shadow Map(这个估计只能在DX12做)
Variable-Size Penumbra
- PCSS(Percentage Closer Soft Shadows)
- VSSM = PCSS + VSM(Variance Soft Shadow Maps)
- SAVSM = VSM + SAT(Summed Area Table)
Others
- 距离场阴影
- Reflective Shadow Maps
- 光线追踪白给的阴影，但需要显卡支持
Cascade Optimization & Technique
- Sample Distribution Shadow Map
- GPU-Driven Cascade Setup and Scene Submission
- Deferred Shadow
[1]Cascade Shadow Maps–MSDN
[2]Playing with Real-Time Shadows(Siggraph 2013)
[3]Lighting Research at Bungie(Siggraph 2009)
[4]Advanced Soft Shadow Mapping Techniques(GDC 2008)
[5]Variance Shadow Maps(GDC 2006)
[6]A Sampling of Shadow Techniques
[7]论文：Layered Variance Shadow Maps
[8]KlayGE：切换到ESM
[9]Exponential Variance Shadow Maps
[10]知乎：方差阴影（Variance Shadow Map）实现
[11]知乎：Unreal Engine UE4 静态阴影实现 Static ShadowMap ESM,改进ESM（log space 下做模糊）
[12]Percentage-Closer Soft Shadows
[13]Integrating Realistic Soft Shadows Into Your Game Engine
[14]VSSM
[15]Moment Shadow Mapping (momentsingraphics.de)
[16]Sample Distribution Shadow Map(自动级联分层)
参考项目：
DirectX11 With Windows SDK完整目录
欢迎加入QQ群: 727623616 可以一起探讨DX11，以及有什么问题也可以在这里汇报。
