最短路径问题：Dijkstra算法
- 2020 年 2 月 11 日
- 筆記
定义
所谓最短路径问题是指：如果从图中某一顶点（源点）到达另一顶点（终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和（称为路径长度）达到最小。
下面我们介绍两种比较常用的求最短路径算法：
Dijkstra（迪杰斯特拉）算法
他的算法思想是按路径长度递增的次序一步一步并入来求取，是贪心算法的一个应用，用来解决单源点到其余顶点的最短路径问题。
算法思想
首先，我们引入一个辅助向量D，它的每个分量D[i]表示当前找到的从起始节点v到终点节点vi的最短路径的长度。它的初始态为：若从节点v到节点vi有弧，则D[i]为弧上的权值，否则D[i]为∞，显然，长度为D[j] = Min{D[i] | vi ∈V}的路径就是从v出发最短的一条路径，路径为(v, vi)。
那么，下一条长度次短的最短路径是哪一条呢？假设次短路径的终点是vk，则可想而知，这条路径或者是(v, vk)或者是(v, vj, vk)。它的长度或者是从v到vk的弧上的权值，或者是D[j]和从vj到vk的权值之和。
因此下一条次短的最短路径的长度是：D[j] = Min{D[i] | vi ∈ V – S}，其中，D[i]或者是弧(v, vi)的权值，或者是Dk和弧(vk, vi)上权值之和。
算法描述
假设现要求取如下示例图所示的顶点V0与其余各顶点的最短路径：
我们使用Guava的ValueGraph作为该图的数据结构，每个顶点对应一个visited变量来表示节点是在V中还是在S中，初始时S中只有顶点V0。然后，我们看看新加入的顶点是否可以到达其他顶点，并且看看通过该顶点到达其他点的路径长度是否比从V0直接到达更短,如果是，则修改这些顶点的权值(即if (D[j] + arcs[j][k] < D[k]) then D[k] = D[j] + arcs[j][k])。然后又从{V – S}中找最小值，重复上述动作，直到所有顶点都并入S中。
第一步，我们通过ValueGraphBuilder构造图的实例，并输入边集：
MutableValueGraph<String, Integer> graph = ValueGraphBuilder.directed() .nodeOrder(ElementOrder.insertion()) .expectedNodeCount(10) .build(); graph.putEdgeValue(V0, V2, 10); graph.putEdgeValue(V0, V4, 30); graph.putEdgeValue(V0, V5, 100); graph.putEdgeValue(V1, V2, 5); graph.putEdgeValue(V2, V3, 50); graph.putEdgeValue(V3, V5, 10); graph.putEdgeValue(V4, V3, 20); graph.putEdgeValue(V4, V5, 60); return graph;
初始输出结果如下：
nodes: [v0, v2, v4, v5, v1, v3], edges: {<v0 -> v5>=100, <v0 -> v4>=30, <v0 -> v2>=10, <v2 -> v3>=50, <v4 -> v5>=60, <v4 -> v3>=20, <v1 -> v2>=5, <v3 -> v5>=10}
为了不破坏graph的状态，我们引入一个临时结构来记录每个节点运算的中间结果：
private static class NodeExtra { public String nodeName; //当前的节点名称 public int distance; //开始点到当前节点的最短路径 public boolean visited; //当前节点是否已经求的最短路径（S集合） public String preNode; //前一个节点名称 public String path; //路径的所有途径点 }
第二步，我们首先将起始点V0并入集合S中，因为他的最短路径已知为0：
startNode = V0; NodeExtra current = nodeExtras.get(startNode); current.distance = 0; //一开始可设置开始节点的最短路径为0 current.visited = true; //并入S集合 current.path = startNode; current.preNode = startNode;
第三步，在当前状态下找出起始点V0开始到其他节点路径最短的节点：
NodeExtra minExtra = null; //路径最短的节点信息 int min = Integer.MAX_VALUE; for (String notVisitedNode : nodes) { //获取节点的辅助信息 NodeExtra extra = nodeExtras.get(notVisitedNode); //不在S集合中，且路径较短 if (!extra.visited && extra.distance < min) { min = extra.distance; minExtra = extra; } }
第四步，将最短路径的节点并入集合S中：
if (minExtra != null) { //找到了路径最短的节点 minExtra.visited = true; //并入集合S中 //更新其中转节点路径 minExtra.path = nodeExtras.get(minExtra.preNode).path + " -> " + minExtra.nodeName; current = minExtra; //标识当前并入的最短路径节点 }
第五步，更新与其相关节点的最短路径中间结果：
/** * 并入新查找到的节点后，更新与其相关节点的最短路径中间结果 * if (D[j] + arcs[j][k] < D[k]) D[k] = D[j] + arcs[j][k] */ //只需循环当前节点的后继列表即可(优化) Set<String> successors = graph.successors(current.nodeName); for (String notVisitedNode : successors) { NodeExtra extra = nodeExtras.get(notVisitedNode); if (!extra.visited) { final int value = current.distance + graph.edgeValueOrDefault(current.nodeName, notVisitedNode, 0); //D[j] + arcs[j][k] if (value < extra.distance) { //D[j] + arcs[j][k] < D[k] extra.distance = value; extra.preNode = current.nodeName; } } }
第六步，输出起始节点V0到每个节点的最短路径以及路径的途径点信息
Set<String> keys = nodeExtras.keySet(); for (String node : keys) { NodeExtra extra = nodeExtras.get(node); if (extra.distance < Integer.MAX_VALUE) { Log.i(TAG, startNode + " -> " + node + ": min: " + extra.distance + ", path: " + extra.path); //path在运算过程中更新 } }
实例图的输出结果为：
v0 -> v0: min: 0, path: v0 v0 -> v2: min: 10, path: v0 -> v2 v0 -> v3: min: 50, path: v0 -> v4 -> v3 v0 -> v4: min: 30, path: v0 -> v4 v0 -> v5: min: 60, path: v0 -> v4 -> v3 -> v5
具体Dijkstra算法的示例demo实现，请参考：
