代码源 每日一题 分割 洛谷 P6033合并果子
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题目描述
有一个长度为 ∑ai 的木板，需要切割成 n 段，每段木板的长度分别为 a1,a2,…,an。
每次切割，会产生大小为被切割木板长度的开销。
请你求出将此木板切割成如上 nn 段的最小开销。
输入格式
第 1 行一个正整数表示 n。
第 2 行包含 nn 个正整数，即 a1,a2,…,an。
输出格式
输出一个正整数，表示最小开销。
数据范围
对于全部测试数据，满足 1≤n,ai≤10^5。
样例输入：
5
5 3 4 4 4
样例输出：
47
nlogn解法
核心思想：贪心
正向考虑题意的话，需要每次将长木板较平均的分割成两块，再每次分割出里面最小的，怎么才最平均呢？还得找最大值？个人觉得不是那么好处理，可以考虑下逆向思维，转换一下题意。
如何转换题意呢？将一块长木板分割为n段，每次的花费为被分割的木板长度，可以等价于被分割成的两块合成一块时，花费为合成的两块的长度和，便转化成了怎样使它合并成一块的花费最小问题。（举个例子，就比如一个长为4的分成一个1一个3，花费为4，跟一个1和一个3合并成一个4，花费为1+3时等价的）
思路：
考虑每次取出两个最小的合成一个更大的，直到最后只剩一个。
证明：
怎么证明这个贪心是对的呢？我们可以假设有三个木块a1<a2<a3，如果取a1,a2合并，需要的花费为(a1+a2)+(a1+a2+a3)，如果不取两个最小的，而取a2,a3，需要花费为(a2+a3)+(a2+a3+a1)显然比第一种要大。那么如何推广到一般情况呢？我们可以这样想，合并了两个之后，费用肯定要加上两个的和，两个合并成的一个肯定还需要与其他的合并，而用递归去想这一部分的花费可以看成是大小固定的，就是说你合并成的还需要去和其他的合并求和，而最终下次合并的和是相同的，那么让两个合并的花费尽量小，花费不就小了吗？
代码实现
怎样每次找到两个最小的呢，并加入合并成的那个？我们考虑使用STL自带的最小堆-优先队列priority_queue。
复杂度分析：
优先队列的插入查询均为logn,复杂度为O(n)*O(logn)即O(nlogn)。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long //会爆int，所以改为了longlong
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q; //小根堆
int n, ans;
signed main()
{
scanf("%lld", &n);
for (; n--;)
{
int x;
scanf("%lld", &x);
q.push(x); //初始将n个木块加入
}
while (q.size() >= 2)
{
int x1, x2;
x1 = q.top(), q.pop(); //取出两次堆顶
x2 = q.top(), q.pop();
ans += (x1 + x2);
q.push(x1 + x2); //加入合并的木块
}
cout << ans << "\n";
}
O(n)解法
考虑优化掉每次插入查询的logn。每次合并成的新的木板肯定是载增大的，也就是说合成的木板是有序的，那么我们使没有被合并的那些木板变得有序，每次考虑取两者队首元素中较小的，用两个队列维护，因为有序所以队首元素为最小值。对初始队列的排序考虑桶排。可以在On的时间内完成此题了。（洛谷貌似卡读入了，所以加了个快读）
详见代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll a[100009]; //记录大小为i的木板的数量（桶排）
ll ans;
void read(int &x) //优化读入
{
int f = 1;
x = 0;
char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9')
{
if (s == '-')
f = -1;
s = getchar();
}
while (s >= '0' && s <= '9')
{
x = x * 10 + s - '0';
s = getchar();
}
x *= f;
}
int main()
{
int n;
read(n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int x;
read(x);
a[x]++; //大小为x的数量+1
}
queue<ll> pre, added; // pre为原始的木板队列，added为后来合并加入的队列
for (int i = 1; i <= 100000; i++)
{
while (a[i]--) //因为i可能不止一个
{
pre.push(i); //放入队列中，使得pre是有序的
}
}
for (int i = 1; i <= n - 1; i++) // n个需要合并n-1次
{
ll x1, x2;
if ((!pre.empty() && !added.empty() && pre.front() < added.front()) || added.empty()) // pre的队首小于added的队首或者added为空
{
x1 = pre.front(); //从pre取
pre.pop();
}
else
{
x1 = added.front(); //从added取
added.pop();
}
//重复一次操作取x2
if ((!pre.empty() && !added.empty() && pre.front() < added.front()) || added.empty()) // pre的队首小于added的队首或者added为空
{
x2 = pre.front();
pre.pop();
}
else
{
x2 = added.front();
added.pop();
}
ans += (x1 + x2); //加上花费
added.push(x1 + x2); // added中加入新合成的木板
}
cout << ans;
}
