用对称多项式法解一道数学竞赛题

• 2021 年 10 月 28 日
• 筆記
• 数学

原题：用电阻值分别为 a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆（a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅ > a₆）的 6 个电阻组装成如图的组件，应如何安排这些电阻以使得该组件的总电阻值最小？证明你的结论。

 解：如图，以 R₁、R₂、R₃、R₄、R₅、R₆ 来指代该组件中的 6 个电阻及其阻值。R₁、R₂ 并联组的阻值记为 R₁₂，则

R₁₂ = U / (U / R₁ + U / R₂) = 1 / (1 / R₁ + 1 / R₂) = R₁R₂ / (R₁ + R₂)

R₁、R₂ 、R₃ 这一组的阻值记为 R₁₂₃，则

R₁₂₃ = R₁₂ + R₃ = R₁R₂ / (R₁ + R₂) + R₃ = (R₁R₂ + R₁R₃  + R₂R₃) / (R₁ + R₂)   ①

① 的右端是个分式，分子是关于 R₁、R₂、R₃ 的对称多项式，因此为使图示中 R₁₂₃ 取值最小， 一定要满足 R₃ < R₁ 和 R₃ < R₂。

记 R₁、R₂、R₃、R₄ 这一组的阻值为 R₁₂₃₄，则

R₁₂₃₄ = R₁₂₃R₄ / (R₁₂₃ + R₄) = (R₁₂ + R₃)R₄ / (R₁₂ + R₃ + R₄)

= (R₁₂R₄ + R₃R₄) / (R₁₂ + R₃ + R₄)   ②

② 的右端是个分式，分母是关于 R₃、R₄ 的对称多项式，分子中非对称的部分是 R₁₂R₄，因此固定 R₁、R₂ 而考虑 R₃ 和 R₄ 的阻值的情形，为使 R₁₂₃₄ 取值更小， 一定要满足 R₄ < R₃。

综合 ① 和 ②，可知为使 R₁₂₃₄ 取值最小， 一定要满足 R₄ < R₃ < R₁ 以及 R₃ < R₂。

记 R₁、R₂、R₃、R₄、R₅ 这一组的阻值为 R₁₂₃₄₅，同 ① 类似，有

R₁₂₃₄₅ = (R₁₂₃R₄ + R₁₂₃R₅  + R₄R₅) / (R₁₂₃ + R₄)

即，为使 R₁₂₃₄₅ 取值最小， 一定要满足 R₅ < R₄。

记 R₁、R₂、R₃、R₄、R₅、R₆ 这一组的阻值为 R₁₂₃₄₅₆，同 ② 类似，有

R₁₂₃₄₅₆ = (R₁₂₃₄R₆ + R₅R₆) / (R₁₂₃₄ + R₅ + R₆)

即，为使 R₁₂₃₄₅₆ 取值更小， 一定要满足 R₆ < R₅。

综上，为使 R₁₂₃₄₅₆ 取值最小， 一定要满足 R₆ < R₅ < R₄ < R₃ < R₁ 以及 R₃ < R₂。

由题设条件，这 6 个电阻安排方案必需为 R_i = a_i，i = 3,4,5,6，而 a₁ 和 a₂ 填补剩余两个位置即可，显然 a₁ 和 a₂ 可以互换位置而不影响整个组件的总阻值。

上述分析过程已经证明了该结论。