矩阵论（一）——线性空间
自从人类有了语言，我们喜欢给每一个东西起一个适合它的名字，也就是定义。
太阳、Yuki、Yuki的宠物小鱼Bong，这种定义方式具体地命名了每个唯一存在的事物，
但是有时候，教导主任忘记了眼前的学生是Yuki还是Jane，于是就喊“同学，你下课来一下我这里”；Jane超级喜欢Yuki的宠物小鱼，却也并不说Bong很可爱，而是说“Yuki，你的这些金鱼真可爱！”；Yuki在跟Jane欣赏漫天星瀚的时候，也并不会说那个巴拉巴拉星好亮，而是说“夏天的星星果然是好亮啊”：这时，“同学”“金鱼”和“星星”就不再是指一个事物了，它往往是一类满足相同规则特征的事物的统称。
类似地，在一种更抽象的语言——数学中，我们自然更灵活地使用着第二种方式。我们把同样一类具有相同本质的东西提取出来，找到能够最小标识它们的明显属性，来确定这个类的定义。同时，我们经过研究，也会发现这类事物还有其他的共同点，得到一系列推论。
当然，事物会进行operation：水从ocean蒸发成vapor，被气流带到陆地上空，凝结为rain和snow等落到地面，还会变成vapor，其余部分成为river，最终回归ocean。
在水的operation中，它不管是变成了洁白无瑕的圣雪，还是变成了脏兮兮的污水，不管怎么变，它还是那个water，不多也不少。它做着符合一定规则的运算，最后得到的还是满足定义的元素，所有这些元素组成的集合我们称为一个空间。
线性代数研究的是线性空间下的规律，什么是线性空间？就是在某个数域下，“加法”和“数乘”运算满足以下八个规律的元素（向量）的集合：
- α+β=β+α，对任意α，β∈V.
- (α+β)+γ=α+(β+γ)，对任意α，β，γ∈V.
- 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元素.
- 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.
- 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).
- 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
- 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
- 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ.
注意：这里的“加法”和“数乘”并不是我们认为的加法和乘法，它可以是任何一种运算；“向量”也不是初中的简单向量，它可能是多维的，也可能它的元素根本不是一个数，而是多项式、向量、矩阵，甚至其他更复杂的东西。
在我看来，我所学习的知识，恰好就是一个线性空间，它们之间有着共同的本质，有着千丝万缕的运算联系。或许两个一加，便是另一个新的知识，靠着努力拾级而上；两个一乘，迸出跃进式的新的火花，量变就成了质变。若是出现了原来没有的新知识，便是通过增加了新的线性无关的元素，从原来的线性子空间张成了一个更大的线性子空间。他们之间闭合而丰富，多元而严谨，足够抽象神秘地诱因着我探索终身。
