无序数组求第K大的数
问题描述
无序数组求第K大的数，其中K从1开始算。
例如：[0,3,1,8,5,2]这个数组，第2大的数是5
OJ可参考：LeetCode_0215_KthLargestElementInAnArray
堆解法
设置一个小根堆，先把前K个数放入小根堆，对于这前K个数来说，堆顶元素一定是第K大的数，接下来的元素继续入堆，但是每入一个就弹出一个，最后，堆顶元素就是整个数组的第K大元素。代码如下：
public static int findKthLargest3(int[] nums, int k) {
PriorityQueue<Integer> h = new PriorityQueue<>();
int i = 0;
// 经历这个循环，前K个数的第K大的数就是h的堆顶元素
while (i < k) {
h.offer(nums[i++]);
}
// 每次入一个，出一个，这样就保证了堆顶元素永远保持第K大的元素
while (i < nums.length) {
h.offer(nums[i++]);
h.poll();
}
return h.peek();
}
由于每次堆需要logK的调整代价, 所以这个解法的时间复杂度为O(N*logK)
改进快排算法
快速排序中，有一个partition的过程, 代码如下，注：以下代码是从大到小排序的partition过程
private static int[] partition(int[] nums, int l, int r, int pivot) {
int i = l;
int more = l - 1;//大于区域
int less = r + 1; // 小于区域
while (i < less) {
if (nums[i] > pivot) {
swap(nums, i++, ++more);
} else if (nums[i] < pivot) {
swap(nums, i, --less);
} else {
i++;
}
}
return new int[]{more + 1, less - 1};
}
这个过程主要的作用是将nums数组的l...r区间内的数，将：
-
小于pivot的数放右边
-
大于pivot的数放左边
-
等于pivot的数放中间
返回两个值，一个是左边界和一个右边界，位于左边界和右边界的值均等于pivot，小于左边界的位置的值都大于pivot，大于右边界的位置的值均小于pivot。简言之：如果要排序，pivot这个值在一次partition以后，所在的位置就是最终排序后pivot应该在的位置。
所以，如果数组中某个数在经历上述partion之后正好位于K-1位置，那么这个数就是整个数组第K大的数。
完整代码如下：
public class LeetCode_0215_KthLargestElementInAnArray {
// 快排改进算法
// 第K小 == 第 nums.length - k + 1 大
public static int findKthLargest2(int[] nums, int k) {
return p(nums, 0, nums.length - 1, k - 1);
}
// nums在L...R范围上，如果要排序（从大到小）的话，请返回index位置的值
public static int p(int[] nums, int L, int R, int index) {
if (L == R) {
return nums[L];
}
int pivot = nums[L + (int) (Math.random() * (R - L + 1))];
int[] range = partition(nums, L, R, pivot);
if (index >= range[0] && index <= range[1]) {
return pivot;
} else if (index < range[0]) {
return p(nums, L, range[0] - 1, index);
} else {
return p(nums, range[1] + 1, R, index);
}
}
private static int[] partition(int[] nums, int l, int r, int pivot) {
int i = l;
int more = l - 1;//大于区域
int less = r + 1; // 小于区域
while (i < less) {
if (nums[i] > pivot) {
swap(nums, i++, ++more);
} else if (nums[i] < pivot) {
swap(nums, i, --less);
} else {
i++;
}
}
return new int[]{more + 1, less - 1};
}
public static void swap(int[] nums, int t, int m) {
int tmp = nums[m];
nums[m] = nums[t];
nums[t] = tmp;
}
}
其中p方法表示：nums在L...R范围上，如果要排序（从大到小）的话，请返回index位置的值。
int pivot = nums[L + (int) (Math.random() * (R - L + 1))];
这一行表示随机取一个值pivot出来，用这个值做后续的partition操作，如果index恰好在pivot这个值做partition的左右边界范围内，则pivot就是排序后第index+1大的数(从1开始算)。
bfprt算法
brfpt算法和改进快排算法主流程上基本一致，只是在选择pivot的时候有差别，快排改进是随机取一个数作为pivot, 而bfprt算法是根据一定的规则取pivot，伪代码表示为：
public class LeetCode_0215_KthLargestElementInAnArray {
public static int findKthLargest2(int[] nums, int k) {
return bfprt(nums, 0, nums.length - 1, k - 1);
}
// nums在L...R范围上，如果要排序（从大到小）的话，请返回index位置的值
public static int bfprt(int[] nums, int L, int R, int index) {
if (L == R) {
return nums[L];
}
//int pivot = nums[L + (int) (Math.random() * (R - L + 1))];
int pivot = medianOfMedians(nums, L, R);
int[] range = partition(nums, L, R, pivot);
if (index >= range[0] && index <= range[1]) {
return pivot;
} else if (index < range[0]) {
return bfprt(nums, L, range[0] - 1, index);
} else {
return bfprt(nums, range[1] + 1, R, index);
}
}
....
}
其中
int pivot = medianOfMedians(nums, L, R);
就是bfprt算法最关键的步骤，mediaOfMedians这个函数表示：
将
num分成每五个元素一组，不足一组的补齐一组，并对每组进行排序(由于固定是5个数一组进行排序，所以排序的时间复杂度O(1))，取出每组的中位数，组成一个新的数组， 对新的数组求其中位数，这个中位数就是我们需要的值pivot。
public static int medianOfMedians(int[] arr, int L, int R) {
int size = R - L + 1;
int offSize = size % 5 == 0 ? 0 : 1;
int[] mArr = new int[size / 5 + offSize];
for (int i = 0; i < mArr.length; i++) {
// 每一组的第一个位置
int teamFirst = L + i * 5;
int median = getMedian(arr, teamFirst, Math.min(R, teamFirst + 4));
mArr[i] = median;
}
return bfprt(mArr, 0, mArr.length - 1, (mArr.length - 1) / 2);
}
public static int getMedian(int[] arr, int L, int R) {
Arrays.sort(arr, L, R);
return arr[(R + L) / 2];
}
注：mediaOfMedians方法中最后一句：
return bfprt(mArr, 0, mArr.length - 1, (mArr.length - 1) / 2);
就是利用bfprt算法拿整个元素中间位置的值。
关于bfprt算法的两个问题
-
为什么是5个一组
-
为什么严格收敛到O(N)
请参考：
三种解法复杂度分析
| 算法 | 时间 | 空间 |
|---|---|---|
| 堆 | O(N*logK) | O(N) |
| 快排改进 | 概率上收敛到：O(N) | O(1) |
| bfprt | 严格收敛到：O(N) | O(N) |
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