图的存储与遍历C++实现
1、图的存储
- 设点数为n,边数为m
1.1、二维数组
- 方法：使用一个二维数组 adj 来存边，其中 adj[u][v] 为 1 表示存在 u到 v的边，为 0 表示不存在。如果是带边权的图，可以在 adj[u][v] 中存储u到v的边的边权。
- 复杂度:
- 查询是否存在某条边：\(O(1)\)
- 遍历一个点的所有出边：\(O(n)\)
- 遍历整张图：\(O(n^2)\)
- 空间复杂度：\(O(n^2)\)
1.2、邻接表
-
方法：使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组，如 vector< int> adj[n + 1] 来存边，其中 adj[u] 存储的是点u的所有出边的相关信息（终点、边权等）；
-
复杂度:
- 查询是否存在u到v的边：\(O(d^+(u))\)（如果事先进行了排序就可以使用二分查找做到\(O(log(d^+(u)))\) ）。
- 遍历点u的所有出边：\(O(d^+(u))\)。
- 遍历整张图：O(n+m)。
- 空间复杂度：O(m)。
1.3、直接存边
- 方法：使用一个数组来存边，数组中的每个元素都包含一条边的起点与终点（带边权的图还包含边权）。（或者使用多个数组分别存起点，终点和边权。）
struct Edge{ int u,v;//边的端点 int w;//权重 }Edges[MAXN]; - 复杂度:
- 查询是否存在某条边：\(O(m)\)。
- 遍历一个点的所有出边：\(O(m)\)。
- 遍历整张图：\(O(nm)\)。
- 空间复杂度：\(O(m)\)。
- 由于直接存边的遍历效率低下，一般不用于遍历图。在Kruskal算法 中，由于需要将边按边权排序，需要直接存边
1.4、链式前向星（本质是用数组模拟链表）
-
方法：本质是用数组模拟链表，主要有两个数组
Edges[MAXN] 存储边的信息，包括两个端点、权重、下一条边在Edges中的索引； head[MAXN] head[i]为节点i的第一条出边在Edges中的序号； 在插入边的时候维护一个tot变量记录总计的边的个数 -
复杂度：
- 查询是否存在u到v的边：\(O(d^+(u))\)（如果事先进行了排序就可以使用二分查找做到\(O(log(d^+(u)))\) ）。
- 遍历点u的所有出边：\(O(d^+(u))\)。
- 遍历整张图：O(n+m)。
- 空间复杂度：O(m)。
-
代码板子：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 1e6; struct Edge {//边结构体 int u,v;//边的端点； int w;//权重 int nxt;//下一条边在Edge中的索引 }Edges[MAXN]; int head[MAXN];//每个节点出边 int tot;//总的边数,随着边的增加而增加 void init(int n){ tot=0; //初始化head数组 for(int i=0; i<n; i++) head[i]=-1; //memset(head,-1,sizeof(head)); //memset是以字节为单位，初始化内存块 //字节单位的数组时，可以用memset把每个数组单元初始化成任何你想要的值 //因为一个int类型的变量占4个字节，而memset是将每一个字节初始化成1， //所以一个int类型的变量被初始化成了0x01010101。而这个数是16843009 //memset初始化int只能初始化0和-1； } void addEdge(int u,int v,int w){ Edges[tot].u=u; Edges[tot].v=v; Edges[tot].w=w; Edges[tot].nxt=head[u]; head[u] = tot; tot++; }
2、图的遍历
2.2、dfs(深度优先 depth first search)
- 基于上述的链式前向星实现
void dfs(int u) { //v 可以是图中的一个顶点 //也可以是抽象的概念，如 dp 状态等，这一点很难想 vis[u] = 1; //标记该节点被访问过 for (int i = head[u]; i; i = Edges[i].nxt) { if (!vis[Edges[i].v]) { //task to do dfs(v); } } }
2.3、bfs(宽度优先 breadth first search)
- 每次都尝试访问同一层的节点。 如果同一层都访问完了，再访问下一层。这样做BFS 算法找到的路径是从起点开始的最短合法路径。换言之，这条路所包含的边数最小。在 BFS 结束时，每个节点都是通过从起点到该点的最短路径访问的。
- 基于上述的链式前向星实现:
void bfs(int u){ vector<int> d;//记录到达各个节点的最近距离； vector<int> p;//记录最短路上的节点 vector<int> vis(MAXN,0);//0代表节点未被访问过 queue<int> q; q.push(u); vis[u]=1;//标记访问 d[u]=0; p[u]=-1; while(!q.empty()){ u=q.front(); q.pop(); for(int i=head[u]; i; i=Edges[i].nxt){ int v = Edges[i].v;//到达的点 if(!vis[v]){ q.push(v); vis[v]=1; d[v]=d[u]+1; p[v]=u;//记录前序节点 //task to do } } } }
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