线性代数1 行列式

2021 年 6 月 6 日
筆記
数学, 线性代数

二阶行列式

所谓二阶行列式，是由四个数，如 $a_{11}$，$a_{12}$，$a_{21}$，$a_{22}$ 排列成含有两行两列形如 $\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|$ 的式子，它表示一个数值，其展开式为

\[\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\]

三阶行列式

所谓三阶行列式，是由九个数，如 $a_{11}$，$a_{12}$，$a_{13}$，$a_{21}$，$a_{22}$，$a_{23}$，$a_{31}$，$a_{32}$，$a_{33}$ 排列成含有三行三列形如 $\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|$ 的式子，它表示

一个数值，其展开式为

\[\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|
=a_{11}\left|\begin{array}{c}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|-a_{12}
\left|\begin{array}{c}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{array}\right|+a_{13}
\left|\begin{array}{c}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array}\right|
\]

n阶行列式

我们观察二、三阶行列式的定义，顺便定义一下一阶行列式：

（几乎全是复制）

所谓一阶行列式，是由一个数，如 $a_{11}$ 排列成含有一行一列形如 $\left|\begin{array}{c}
a_{11}
\end{array}\right|$ 的式子，它表示一个数值，其展开式为

\[\left|\begin{array}{c}
a_{11}
\end{array}\right|
=a_{11}
\]

有了一阶行列式的定义，我们考虑像三阶行列式一样递归的定义二阶行列式：

\[\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
=a_{11}\left|\begin{array}{c}
a_{22}
\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{c}
a_{21}
\end{array}\right|
\]

至此，$n$ 阶行列式的定义几乎呼之欲出了：
所谓 $n$ 阶行列式，是由 $n^2$ 个数，如 $a_{11}$，$a_{12}$，$\cdots$，$a_{nn}$ 排列成含有 $n$ 行 $n$ 列形如 $\left|\begin{array}{c}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|$ 的式子，它表示一个数值，其展开式为

\[\left|\begin{array}{c}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|
=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{1i}\left|\begin{array}{c}
a_{21} & \cdots & a_{2\ i-1} & a_{2\ i+1} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n\ i-1} & a_{n\ i+1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|
\]

（其实就是对于第一行的每个元素，用它乘除了它同行同列的剩下来数构成的子行列式。）

上式中令

\[M_{1i}=
\left|\begin{array}{c}
a_{21} & \cdots & a_{2\ i-1} & a_{2\ i+1} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n\ i-1} & a_{n\ i+1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|$$，称为元素 $a_{1i}$ 的**余子式**。令 \]

A_{1i}=(-1)^{i+1}M_{1i}$$，称为元素 $a_{1j}$ 的代数余子式。

行列式在解线性方程的运用：Cramer法则

目标：求解关于 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ 的 $n$ 元线性方程组

\[\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\
\cdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \\
\end{cases}
\]

Cramer法则求解：

令

\[D=\left|\begin{array}{c}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|
\]

，称之为该方程组的系数行列式。

同时，把行列式 $D$ 的第 $i$ 列替换为方程组的常数列项（$b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$），得到新的行列式记为 $D_i$，即

\[D_1=\left|\begin{array}{c}
b_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
b_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\
b_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|,
D_2=\left|\begin{array}{c}
a_{11} & b_1 & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & b_2 & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & b_n & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|,
\cdots,
D_n=\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & b_2 \\
\cdots & \vdots & \ddots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_n
\end{array}\right|
\]

若线性方程组的系数行列式 $D\not=0$，则该方程组有唯一解：

\[x_i=D/D_i\qquad (i=1,2,\cdots,n)
\]

Cramer法则的应用

例题求解二元线性方程组

\[\begin{cases}
5x_1+x_2 = 4 \\
2x_1-3x_2 = 5
\end{cases}
\]

解这个线性方程组的系数行列式为

\[D=\left|\begin{array}{c}
5 & 1 \\
2 & -3
\end{array}\right|=-17
\]

由于 $D=17\not=0$，该线性方程组有唯一解，

\[D_1=\left|\begin{array}{c}
4 & 1 \\
5 & -3
\end{array}\right|=-17,
D_2=\left|\begin{array}{c}
5 & 4 \\
2 & 5
\end{array}\right|=17
\]

即

\[\begin{cases}
x_1=D/D_1=1 \\
x_2=D/D_2=-1
\end{cases}
\]

Cramer法则与齐次性

若线性方程组的常数项全为零，即

\[\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\
\cdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \\
\end{cases}
\]

则称该线性方程组为齐次线性方程组。反之，如果常数项不全为零，则称之为非齐次线性方程组。

齐次线性方程组永远有解，这组解为 $x_i = 0\qquad (i=1,\cdots,n)$，这组解被称为零解。
由Cramer法则容易知道，当线性方程的系数行列式不等于 $0$ 时，方程只有零解。

Cramer法则的局限性

应用Cramer法则求解 $n$ 元线性方程组时，必须有 $n$ 条方程。
应用Cramer法则求解 $n$ 元线性方程组时，因涉及到行列式的计算问题，即需要计算 $n+1$ 个 $n$ 阶行列式的值，这样，随着 $n$ 的增大，求解的计算量是相当大的。

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