图解Leetcode组合总和系列——回溯（剪枝优化）+动态规划
Leetcode组合总和系列——回溯（剪枝优化）+动态规划
组合总和 I
给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的数字可以无限制重复被选取。
说明：
所有数字（包括 target）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。示例 1：
输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
所求解集为：
[
[7],
[2,2,3]
]来源：力扣（LeetCode）
链接：//leetcode-cn.com/problems/combination-sum
此题要求解出所有可能的解，则需要用回溯法去回溯尝试求解，我们可以画一棵解空间树：
图中绿色节点表示找到了一种可行解，而红色的节点表示到这个节点的时候组合总和的值已经大于target了，无需继续向下尝试，直接返回即可。
因为题目要求解集无重复，即2,2,3和3,2,2应该算作同一种解，所以我们在回溯的时候应该先对candidates数组排序，然后每次只向下回溯大于等于自己的节点。
观察解空间树我们发现：当某一层中第一次出现红色节点或绿色节点后，后面的节点将全变为红色，因为数组是经过排序的，任意节点后面的节点都是大于此节点的（candidates数组无重复元素），所以当出现一个红/绿色节点后，后面的节点不必再继续检查，直接剪枝即可。
剪枝后的解空间树如下：
这样看整棵解空间树就小多了，下面直接上代码：
Java版本的回溯解法代码
class Solution {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
Arrays.sort(candidates);
dfs(candidates,target,0,new ArrayList());
return result;
}
public void dfs (int[] candidates, int target, int currSum, List<Integer> res) {
if (currSum == target) {
result.add (new ArrayList(res));
return;
}
for (int i = 0; i < candidates.length; i++) {
if (currSum + candidates[i] > target) {
return;
}
int size = res.size();
if (size==0 || candidates[i] >= res.get(size-1)) {
res.add(candidates[i]);
dfs(candidates, target, currSum+candidates[i],res);
res.remove(size);
}
}
}
}
Go版本的回溯解法代码
func combinationSum(candidates []int, target int) (result [][]int) {
sort.Ints(candidates)
var dfs func(res []int, currSum int)
dfs = func(res []int, currSum int) {
if currSum == target {
result = append(result, append([]int(nil), res...))
return
}
for i := 0; i < len(candidates); i++ {
if currSum + candidates[i] > target {
return
}
if len(res) == 0 || candidates[i] >= res[len(res)-1] {
length := len(res)
res = append(res, candidates[i])
dfs(res, currSum+candidates[i])
res = res[:length]
}
}
}
var res []int
dfs(res, 0)
return
}
组合总和 II
给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
说明：
所有数字（包括目标数）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。示例 1:
输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5, 所求解集为: [ [1,2,2], [5] ]来源：力扣（LeetCode）
链接：//leetcode-cn.com/problems/combination-sum-ii
和组合总和I不同的是这个题目中的candidates数组中出现了重复数字，而且每个数字只能使用一次，我们对这个数组进行排序，每次回溯进下一层的时候都从上一层访问的节点的下一个开始访问。画出的解空间树如下：
观察解空间树发现还是有重复的解出现，比如1,2,2出现了两次，这种问题我们可以通过两种方法来解决
-
每次当找到一个可行解后，判断看是否此解已经存在于之前发现的解中了，如果存在就丢弃
-
剪枝，同一层中同样的节点只能出现一次，这样不但整个解空间树会小很多，而且避免了判断时候的开销，下面是剪枝后的解空间树
具体剪枝的方法我们可以通过增加一个visit集合，记录同一层是否出现过相同节点，如果出现过就不再次访问此节点。
我对两种解法做了对比，执行的时间效率对比如下：第一种对应上面的结果，第二种解法对应下面的结果
下面贴出第二种解法的代码：
Java版本的回溯解法代码
class Solution {
public static void trace(List<List<Integer>> result, List<Integer> res, int[] candidates, int target, int curr, int index) {
if (curr == target) {
//得到预期目标
result.add(new ArrayList<>(res));
}
Set<Integer> visit = new HashSet<>();
for (int j = index+1; j < candidates.length; j++) {
if (visit.contains(candidates[j])) {
continue;
} else {
visit.add(candidates[j]);
}
if (curr + candidates[j] > target){
//此路不通，后路肯定也不通
break;
} else {
//继续试
res.add(candidates[j]);
int len = res.size();
trace(result, res,candidates,target,curr+candidates[j],j);
res.remove(len-1);
}
}
}
public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
List<List<Integer>> result = new ArrayList<List<Integer>>();
int curr = 0;
Arrays.sort(candidates);
trace(result, res,candidates,target,curr,-1);
return result;
}
}
Go版本的回溯解法代码
func combinationSum2(candidates []int, target int) (result [][]int) {
sort.Ints(candidates)
var dfs func(res []int, currSum, index int)
dfs = func(res []int, currSum, index int) {
if currSum == target {
result = append(result, append([]int(nil), res...))
return
}
var set []int
for i := index+1; i < len(candidates); i++ {
if isExist(set, candidates[i]) {
continue
} else {
set = append(set, candidates[i])
}
if currSum + candidates[i] > target { //遇到红色节点，直接跳出循环，后面也无需尝试
break
} else {
res = append(res, candidates[i])
dfs(res, currSum+candidates[i], i)
res = res[:len(res)-1]
}
}
}
var res []int
dfs(res, 0, -1)
return
}
func isExist(set []int, x int) bool {
for _, v := range set {
if v == x {
return true
}
}
return false
}
组合总和 III
找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 – 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。
说明：
所有数字都是正整数。
解集不能包含重复的组合。示例 1:
输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]示例 2:
输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]来源：力扣（LeetCode）
链接：//leetcode-cn.com/problems/combination-sum-iii
此题的candidates数组不再由题目给出，而是由[1,9]区间里的数组成，且每种组合不存在重复的数，则每种数字只能用一次，我们还是继续采用回溯法，不同的是限制了解集中数字的个数。而且每层的回溯都从上一层访问的节点的下一个节点开始。
如果使用暴力法去回溯，将得到下面这样的一棵解空间树（由于树过大，所以右边被省略）
因为题目中规定了树的深度必须是k，红色表示不可能的解，绿色表示可行解，紫色表示到了规定的层数k，但总和小于n的情况。
观察上述的解空间树我们发现了剪枝的方法：
- 对于红色节点之后的节点直接裁剪掉
- 但需要注意紫色的虽然不符合题意，但由于后面可能出现正确解，所以不能剪掉
- 根据树的深度来剪，上面两个题中都没有规定深度，此题还可以根据深度来剪，如果超过规定深度就不继续向下探索
画出剪枝后的解空间树（同样省略了右边的树结构）：
Java版本的回溯解法代码
class Solution {
public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
List<List<Integer>> result = new ArrayList<List<Integer>>();
trace(result,res,0,k,n);
return result;
}
public void trace (List<List<Integer>> result, List<Integer> res, int curr, int k, int n) {
if (res.size() == k && curr == n) {
result.add(new ArrayList<>(res));
return;
} else if (res.size() < k && curr < n) {
for (int i = 1; i < 10; i++) {
int len = res.size();
if (len == 0 || i > res.get(len - 1)) {
res.add(i);
trace(result,res,curr+i,k,n);
res.remove(len);
}
}
} else { //树的深度已经大于规定的k
return;
}
}
}
Go版本的回溯解法代码
func combinationSum3(k int, n int) (result [][]int) {
var dfs func(res []int, currSum int)
dfs = func(res []int, currSum int) {
if len(res) == k && currSum == n {
result = append(result, append([]int(nil), res...))
return
} else if len(res) < k && currSum < n {
i := 1
if len(res) > 0 {
i = res[len(res)-1]+1
}
for ; i < 10; i++ {
res = append(res, i)
dfs(res, currSum+i)
res = res[:len(res)-1]
}
} else { //搜索的深度已经超过了k
return
}
}
var res []int
dfs(res, 0)
return
}
组合总和 IV
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。示例 2：
输入：nums = [9], target = 3
输出：0来源：力扣（LeetCode）
链接：//leetcode-cn.com/problems/combination-sum-iv
这个道题目并没有像上面一样要求我们找出所有的解集，而是只要求解解的个数，这时如果我们再采用回溯法去求解无疑是造成了很大的浪费，所以考虑使用动态规划，只求解个数而不关注所有解的具体内容。
题目允许数字的重复，且对顺序敏感（即不同顺序视做不同解），这样我们可以通过让每一个nums数组中数num做解集的最后一个数，这样当x作为解集的最后一个数，解集就为num1,num2,num3......x
如果dp数组的dp[x]表示target为x时候的解集个数，那么我们只需要最后求解dp[target]即可。
那么当最后一个数为x时对应的解集个数就为dp[target-x]个，让nums中的每一个数做一次最后一个数，将结果相加就是dp[target]的值，不过需要注意的是dp[0] = 1表示target为0时只有一种解法（即一个数都不要），dp的下标必须为非负数。
下面是状态转移方程（n为nums最后一个元素的下标）：
\begin{cases}
1& \text{i=0}\\
\sum_{j=0}^n\ dp[target-nums[j]& \text{i!=0 && target-nums[j] > 0}
\end{cases}
\]
Java版本的动态规划解法代码
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp = new int[target+1];
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= target; i++) {
for (int num:nums) {
int tmp = i - num;
if (tmp >= 0) {
dp[i] += dp[tmp];
}
}
}
return dp[target];
}
}
Go版本的动态规划解法代码
func combinationSum4(nums []int, target int) int {
dp := make([]int, target+1)
dp[0] = 1
for i := 1; i <= target; i++ {
for _, v := range nums {
tmp := i - v
if tmp >= 0 {
dp[i] += dp[tmp]
}
}
}
return dp[target]
}
