【网络流】网络流基本概念

• 2021 年 4 月 26 日
• 筆記
• 图论, 算法笔记

网络流涉及到的概念好多 \(qwq\) ，梳理一下。

流网络

流网络是一个有向图，包含点集和边集。即 \(G=(V,E)\) 。
对于边 \(e:u\rightarrow v\) （也可以记为 \((u,v)\) ），有属性 \(c(u,v)\) ，称为容量。可以将其比喻为水管在单位时间可以流过的最大水量。

而图 \(G\) 中有两个特殊的点，称为源点和汇点，通常记为 \(s\) , \(t\) ，可以将源点比喻为无限的水源，将汇点比喻为能够容纳无穷的水的容器。

可行流

我们记 \(f(u,v)\) 为边 \(e:u\rightarrow v\) 当前的流量，流量需要满足两个约束：

1. 容量限制：即 \(0 \leq f(u,v) \leq c(u,v)\)
2. 流量守恒：除了源点、汇点，其他点流入的流量等于流出的流量，正式地说： \(\sum_{(u,x) \in E} f(u,x) = \sum_{(x,v)\in E)} f(x,v)\)

流量值

用单位时间流出源点的流量来刻画，记为 \(|f|=\sum_{(s,x) \in E} f(s,x) – \sum_{(y,s)\in E)}f(y,s)\) 。

最大流

又称为最大可行流，即对于 \(G\) 中可行流构成的集合中，流量值最大的元素。

残留网络

又称为残量网络，注意，残留网络总是针对原图 \(G=(V,E)\) 中的某一个可行流而言的，因此，可以残留网络看成是可行流的一个函数，通常记为 \(G_f\) 。

\(G_f=(V_f,E_f)\) ，其中 \(V_f=V\) ， \(E_f=E和E中所有的反向边\) 。

残留网络中的容量记为 \(c'(u,v)\) ，定义为：

增广路径

如果从源点 \(s\) 出发沿着残留网络中容量大于 \(0\) 的边走，可以走到汇点 \(t\) ，那么将走过的边所组成的路径称为增广路径。

原网络可行流+残留网络可行流也是原网络的一个可行流

正式地说， \(f+f’\) 属于 \(G\) 的一个可行流，且有 \(|f+f’|=|f|+|f’|\) 。

割

是网络中顶点的一个划分，把所有顶点划分成两个顶点集合 \(S\) 和 \(T\) ，其中源点 \(s\) 属于 \(S\) ，汇点 \(t\) 属于 \(T\) ，而且有 \(S \cup T=V\) ，\(S \cap T=\emptyset\) ，记为 \([S,T]\) 。

割的容量

\(c(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u,v)\)

最小割

\(G\) 中所有割组成的集合中，容量最小的元素。

割的流量

\(f(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v) – \sum_{u\in T}\sum_{v\in S}f(u,v)\)

任意割的流量 \(\leq\) 容量

正式地说，即 \(\forall [S,T]\) ，\(f(S,T)\leq c(S,T)\) 。

证明：（待补充）

最大流最小割定理

1. \(f\) 是最大流
2. \(G_f\) 不存在增广路
3. \(\exists [S,T]\) ，满足 \(|f|=c(S,T)\)

最大流最小割定理指的是：上面的三个命题是等价的。（也就是说可以互推）。

证明：

• 先证明 1 可以推得 2 ：
  反证即可，如果 \(G_f\) 存在增广路，那么原图 \(G\) 中存在流量大于 \(0\) 的可行流 \(|f’|\) ，那么 \(f+f’\) 也是可行流，且流量为 \(|f|+|f’|>|f|\) ，矛盾。

• 下证 2 可以推得 3 ：
  我们将对于 \(G_f\) 中从 \(s\) 出发沿着容量大于 \(0\) 的边可以到达的点全部放入集合 \(S\) 中，然后令 \(T=V-S\) 。
  那么对于点 \(x \in S\) ，\(y \in T\) ，边 \((x,y)\) 一定有 \(f(x,y)=c(x,y)\) 。
  而对于点 \(x \in T\) ，\(y \in S\) 。必然有 \(f(x,y)=0\) 。因而割可以被构造出来。

• 最后证明 3 可以推得 1 ：
  因为 \(|f|\leq 最大流 \leq c(S,T)\) ，而由 3 可知 \(|f|=c(S,T)\) ，故上式取等，即有 \(f\) 是最大流。

最大流FF方法

基于这样的思路：

1. 寻找增广路
2. 利用增广路更新残留网络

一直这样做，直到找不到增广路，那么即可求得最大流。