卷积是怎么【卷】的
- 2019 年 12 月 10 日
- 筆記
前言：
现在人工智能很火，但是它的数学门槛让很多人都望而却步，今天这篇文章就以很通俗的语言来讲解了卷积，希望对大家有所帮助。
卷积，这个词大家应该都不陌生，数学中傅立叶变换的时候，物理中信号处理的时候，图像处理中滤波的时候、提取边缘的时候，还有深度学习中卷积神经网络的时候，处处可见卷积的影子。卷积在图像处理中的应用非常广泛，可以说理解了卷积，就可以理解图像处理算法的半壁江山，也不知道这个说法是否夸张了。
但是都说卷积卷积，那卷积到底是怎么个卷法呢？本文尝试解答这一问题。
理解的卷积计算过程
想要理解卷积，一些必要的数学公式是少不了的，放心吧，就下面这一个公式了，所有讨论围绕这一个公式展开。
我们从维基百科中对于卷积的解释引入：
设：, 是 上的两个可积函数，作积分： 可以证明，关于几乎所有的 ，上述积分是存在的。这样，随着 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数 ，称为函数 与 的卷积，记为 。
我们提取下重点公式写在下面，记为公式1：
以上公式1最令人迷惑也是最需要注意的部分在于，在等式的左边，自变量是，然而等式的右边自变量却变成了，更令人疑惑的是——右边自变量不是是也就算了,竟然还出现了一个。
那么问题来了，和，到底哪个在变？还是两个都在变？如果是都在变，那到底是怎么个变法？
这些问题还是需要慢慢道来。我们先看一个卷积稍微通俗一点的解释。
卷积
（1）即是通过两个函数和生成第三个函数的一种数学算子。
（2）表征函数f与经过翻转和平移的g的乘积函数所围成的的曲边梯形的面积。
上面两句话都非常重要，我们从第二句话开始看，第二句话中包含了以下四个重点信息：
- 翻转
- 平移
- 乘积
- 积分（函数围成的面积不就是积分么？）
我们一个一个来看。先看右边，我们不妨先令， 也就是不变而变的情况。于是公式1就变成了公式2：
1. 翻转
先看翻转，怎么翻转一个函数呢，想一下最简单的，不难发现，翻转之后即为。我用Python画出了这俩函数的图像，看起来更为直观。
f(x)-f(-x)
2. 平移
然后看一下一个函数如何平移，仍然以为例，回一下我们中学学过的数学知识，也许还能记起来，就是由向右平移得到的。我们仍然以图说话，用Python作图如下，分别取值为。
f(t-x)
3. 乘积
现在我们只看公式的右边部分：
现在我们可以知道就是翻转之后又向右平移了个单位。这时候需要考虑另一个函数了。这里 我们继续举个例子，不妨令。
我们继续用Python画出如下图所示：
fg
4. 积分
现在是较为完整的公式3的样子了，这里为了能够更好地表达，我们把区间从改为，即画出
int
注意了，在上面的所有过程中，一直是不变的，变的是。即我们上面一直是在做的是公式2右边的计算，公式2如下：
不论怎么变化，最后一旦积分，等式右边就成了一个确定的数字，一个常量。
趣谈编程注：积分确定了上下限，面积也就随之确定了。
一个对应一个嘛。此时我们可以继续看公式左边了，我们直接看公式1：
左边换下位置我们也许会更好理解，即。也即之前提到的一句话：卷积即是通过两个函数和生成第三个函数的一种数学算子。
总结一下，卷积计算过程可以分解为四步：翻转、平移、乘积、积分。
卷积为什么叫“卷积”？
1. 卷积之【卷】
那么问题来了？卷积为什么要叫“卷积”呢？换言之，卷积之“卷”和卷积之“积”分别是什么含义？
这里想像一下如果我们要卷起一张A4纸，需要怎么做？
（1）首先我们需要提起对着自己一条边，向上翻转使之对着自己身体前方——翻转！
卷纸0
（2）然后继续向下打个圈之后，就可以向前推了——平移！
卷纸1
看到没？翻转！平移！
你肯定还记得上面说的卷积计算的四个过程：翻转、平移、乘积、积分。卷积之“卷”，你明白了吗？
本文完
什么？还不能走？你想要画图的源码？
# coding:utf-8 """ Author: CVPy-冰不语 Date: 2019/11/26 """ import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 定义函数f(x) def f(x): """$f (\tau)$""" return x # 定义函数g(x) def g(x): """$f(x)=sin(x)$""" return np.sin(x/10) # 设置坐标系 def set_ax(ax): ax.spines['top'].set_color('none') ax.spines['right'].set_color('none') ax.spines['bottom'].set_color('deepskyblue') ax.spines['left'].set_color('deepskyblue') ax.xaxis.set_ticks_position('bottom') ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) ax.yaxis.set_ticks_position('left') ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) ax.set_xticks(np.arange(-100,101, 50)) # ax.set_yticks(np.arange(-100,101, 50)) return ax if __name__ == "__main__": # x的取值范围 x = np.arange(-100, 100, 0.1) # ---------第一幅图：f(x)和f(-x)---------- fig = plt.figure(figsize=(6, 6)) # 左边画f(x) ax1 = fig.add_subplot(121) ax1 = set_ax(ax1) ax1.plot(x, f(x), 'orange', label=f.__doc__) plt.legend(loc="upper left", bbox_to_anchor=[0, 1], ncol=1, fancybox=True) # 右边画f(-x) ax2 = fig.add_subplot(122) ax2 = set_ax(ax2) plt.plot(x, f(-x), 'orange', label="$f (-\tau)$") plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True) plt.show() # ---------第二幅图：f(t-x)---------- fig2 = plt.figure(figsize=(6, 6)) ax3 = fig2.add_subplot(111) ax3 = set_ax(ax3) ax3.set_xticks(np.arange(-100, 101, 20)) ax3.set_yticks(np.arange(-100, 181, 20)) for t in [20, 40, 60, 80]: plt.plot(x, f(t-x), label="$f (x_0 - \tau) x_0={0}$".format(t)) plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True) plt.show() # ---------第三幅图：g(x) * f(t-x)---------- t = 80 def f_mul_g(x, t): """$f(\tau-x)*g(\tau)$""" return f(t-x)*g(x) fig3, ax4 = plt.subplots() ax4 = set_ax(ax4) ax4.set_xticks(np.arange(-100,101, 20)) # ax4.set_yticks(np.arange(-100,181, 20)) plt.plot(x, f_mul_g(x, t), label=f_mul_g.__doc__) plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True) plt.show() # ---------第四幅图：g(x) * f(t-x)的积分---------- import matplotlib.patches as mPatches def int_fg(x, t, ax5): ax5 = set_ax(ax5) plt.plot(x,f_mul_g(x, t), 'orange', label="$f (\tau)*g(x_0-\tau) x_0={0}$".format(t)) plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True) a = -50 b = 50 ix = np.linspace(a,b) iy = f_mul_g(ix,t) verts = [(a,0)] + list(zip(ix, iy)) + [(b,0)] poly = mPatches.Polygon(verts,color='deepskyblue') ax5.add_patch(poly) # plt.plot(x,g(x),label=g.__doc__) plt.text(30, 50, '$int_a^b f (\tau)*g(x_0-\tau) x_0={0}$'.format(t), style='oblique', bbox={'facecolor': 'orange', 'alpha': 0.5, 'pad': 5}, fontsize=15) fig4, ax5 = plt.subplots() int_fg(x, t, ax5) plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True) plt.ion() # for i in range(100): # y = np.random.random() # plt.autoscale() # plt.scatter(i, y) # plt.pause(0.01) fig4, ax5 = plt.subplots() tn = np.arange(-100,100,5) for t in tn: plt.cla() plt.grid(True) plt.autoscale() int_fg(x, t, ax5) plt.pause(0.01) plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True) plt.show()
以上文章来源于CVPy，作者CVPy冰不语
