中序+前序与中序+后序之重建二叉树
- 2019 年 11 月 23 日
- 筆記
重建二叉树
1.题目描述
输入某二叉树的前序遍历和中序遍历的结果，请重建出该二叉树。假设输入的前序遍历和中序遍历的结果中都不含重复的数字。例如输入前序遍历序列 {1, 2, 4, 7, 3, 5, 6, 8} 和中序遍历序列 {4, 7, 2, 1, 5, 3, 8, 6}，则重建出如下图所示的二叉树并返回它的头结点。
2.二叉树四种遍历方式
l例如一个二叉树层次遍历顺序为[1,2,3,4,5,6,7],那么：
前：[1, 2, 4, 5, 3, 6, 7]
中：[4, 2, 5, 1, 5, 3, 7]
后：[4, 5, 2, 6, 7, 3, 1]
层：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
- 前序遍历：先访问根结点，再访问左子结点，最后访问右子结点。
- 中序遍历：先访问左子结点，再访问根结点，最后访问右子结点。
- 后序遍历：先访问左子结点，再访问右子结点，最后访问根结点。
3.中序+前序
回到这个题目，我们知道中序+前序可以构建一颗二叉树，而本题就是通过这个方式来构建，当然后序+中序也可以构建，但是前序+后序是不可以的。举个例子：
D / E
前序遍历：DE, 后序遍历：ED
则下面树的结构也满足前序和后序遍历的序列。
D E
即这种情况，不能唯一确定一棵树。
当前这个题目(前序+中序)解决方案如下：
- 不使用原数组
- 使用原数组-采用左节点个数构建
- 使用原数组-采用右节点个数构建
（1）不使用原数组
思路很简单，对比中序列与前序：
前序：[1, 2, 4, 5, 3, 6, 7] 中序：[4, 2, 5, 1, 5, 3, 7] i
首先构建根，其次递归构建自己的左右孩子，最后返回根就可以了。
每次在中序遍历中找到根节点位置，然后划分左右孩子。
TreeNode *reConstructBinaryTree(vector<int> pre, vector<int> vin) { if (pre.empty() || vin.empty()) return NULL; TreeNode *root = new TreeNode(pre[0]); vector<int> lpre, lvin, rpre, rvin; for (int i = 0; i < vin.size(); i++) { if (vin[i] == pre[0]) { lpre = vector<int>(pre.begin() + 1, pre.begin() + i + 1); lvin = vector<int>(vin.begin(), vin.begin() + i); rpre = vector<int>(pre.begin() + i + 1, pre.end()); rvin = vector<int>(vin.begin() + i + 1, vin.end()); root->left = reConstructBinaryTree(lpre, lvin); root->right = reConstructBinaryTree(rpre, rvin); } } return root; }
这种方法非常好理解，缺点是并不是在原来的数组上操作。
下面这种方法是直接在原来的数组上操作的，但是下标边界直接看不是很明白，需要配合画图才能理解。
再看下面这个：
前序：[1, 2, 4, 5, 3, 6, 7] pStart pEnd 中序：[4, 2, 5, 1, 5, 3, 7] vStart i vEnd
中序遍历得出如下结论：
- 左子结点长度 = i – vStart
- 右子结点长度 = vEnd – i
所以对于左子树来说：
前序遍历下标范围 = [pStart+1,pStart+i-vStart]
中序遍历下标范围 = [vStart,i-1]
对于右子树来说
前序遍历下标范围 = [pStart+i-vStart+1,pEnd]
中序遍历下标范围 = [i+1,vEnd]
于是第二种方法出来了。
（2）使用原数组-采用左节点个数构建
TreeNode *preForConstructBinaryTree(vector<int> pre, vector<int> vin) { return preAndVin(pre, 0, pre.size() - 1, vin, 0, vin.size() - 1); } // 前序+中序 TreeNode *preAndVin(const vector<int> &pre, int pStart, int pEnd, const vector<int> &vin,int vStart, int vEnd) { // 递归终止条件 if (pStart > pEnd || vStart > vEnd) return NULL; TreeNode *root = new TreeNode(pre[pStart]); // 重建根节点 // 重建左右子树 for (int i = vStart; i <= vEnd; i++) { if (vin[i] == pre[pStart]) { root->left = preAndVin(pre, pStart + 1, pStart + i - vStart, vin, vStart, i - 1); root->right = preAndVin(pre, pStart + i - vStart + 1, pEnd, vin, i + 1, vEnd); } return root; }
（3）使用原数组-采用右节点个数构建
另外，我们还可以使用右子结点长度来构建。
所以对于左子树来说：
前序遍历下标范围 = [pStart+1,pEnd-(vEnd-i)]
中序遍历下标范围 = [vStart,i-1]
对于右子树来说
前序遍历下标范围 = [pEnd-(vEnd-i)+1,pEnd]
中序遍历下标范围 = [i+1,vEnd]
只需要将上述左右子树构建改为：
root->left = preAndVin(pre, pStart + 1, pEnd - (vEnd - i), vin, vStart, i - 1); root->right = preAndVin(pre, pEnd - (vEnd - i) + 1, pEnd, vin, i + 1, vEnd);
4.中序+后序
既然这道题是前序+中序，那么我们在琢磨一下中序+后序呗，同样的道理，也是上面两种。
（1）不使用原数组
TreeNode *reConstructBinaryTree1(vector<int> post, vector<int> vin) { if (post.empty() || vin.empty()) return NULL; TreeNode *root = new TreeNode(post[post.size() - 1]); vector<int> lpost, lvin, rpost, rvin; for (int i = 0; i < vin.size(); i++) { if (vin[i] == post[post.size() - 1]) { // 后序 左半边 lpost = vector<int>(post.begin(), post.begin() + i); // 中序 左半边 lvin = vector<int>(vin.begin(), vin.begin() + i); // 后序 右半边 rpost = vector<int>(post.begin() + i, post.end() - 1); // 前序 右半边 rvin = vector<int>(vin.begin() + i + 1, vin.end()); root->left = reConstructBinaryTree1(lpost, lvin); root->right = reConstructBinaryTree1(rpost, rvin); } } return root; }
（2）使用原数组-采用左节点个数构建
后：[4, 5, 2, 6, 7, 3, 1] pStart pEnd 中：[4, 2, 5, 1, 5, 3, 7] vStar i vEnd
- 左子结点长度 = i – vStart
- 右子结点长度 = vEnd – i
所以对于左子树来说：
后序遍历下标范围 = [pStart,pStart+i-vStart-1]
中序遍历下标范围 = [vStart,i-1]
对于右子树来说
后序遍历下标范围 = [pStart+i-vStart,pEnd-1]
中序遍历下标范围 = [i+1,vEnd]
// 中序+后序 TreeNode *postAndVin(const vector<int> &post, int pStart, int pEnd, const vector<int> &vin,int vStart, int vEnd) { // 递归终止条件 if (pStart > pEnd || vStart > vEnd) return NULL; int rootVal = post[pEnd]; TreeNode *root = new TreeNode(rootVal); // 重建根节点 // 重建左右子树 for (int i = vStart; i <= vEnd; i++) { if (vin[i] == rootVal) { root->left = postAndVin(post, pStart, pStart + i - vStart - 1, vin, vStart, i - 1); root->right = postAndVin(post, pStart + i - vStart, pEnd - 1, vin, i + 1, vEnd); } } return root; } };
（3）使用原数组-采用右节点个数构建
所以对于左子树来说：
前序遍历下标范围 = [pStart,pEnd – (vEnd – i) – 1]
中序遍历下标范围 = [vStart,i-1]
对于右子树来说
后序遍历下标范围 = [pEnd-(vEnd-i),pEnd-1]
中序遍历下标范围 = [i+1,vEnd]
所以，上述代码改为：
// method 2 root->left = postAndVin(post, pStart, pEnd - (vEnd - i) - 1, vin, vStart, i - 1); root->right = postAndVin(post, pEnd - (vEnd - i), pEnd - 1, vin, i + 1, vEnd);
