详解三道一维的动态规划算法题

2019 年 11 月 22 日
筆記

来源：知乎（已获得授权）

作者：单金折

例1: 打家劫舍

动态规划思考步骤：

1、原问题：

在一条直线上，有n个房屋，每个房屋中有数量不等的财宝，有一个盗贼希望从房屋中盗取财宝，由于房屋中有报警器，如果同时从相邻的两个房屋中盗取财宝就会触发报警器。问在不触发报警器的前提下，最多可获取多少财宝？例如 [5，2，6，3，1，7]，则选择5，6，7

来源于LeetCode 198. House Robber

2 、子问题：

（1）、只考虑前两个房间时，谁大选谁（2）、考虑第三个房间

如果偷第三个房间，则意味着第二个房间不投，也就是第三个房间值 + 第一个房间的宝藏数量
如果不偷第三个房间，则宝藏数量等于前两个房间宝藏数量

3、确认状态：

int [] nums; // 各个房间的宝藏数

int [] flags = new int [n]; // 记录各个房间有没有被偷，若flag = 0 则没偷， flag = 1 则偷了。

int [] dp = new int [n]; // dp[i]表示前i个房间偷到的最大宝藏数

4、初始状态：

第一个房间：

Condistion 1 ：dp[0] = nums[0] ; flags[0] = 1;
Condistion 2 ：dp[0] = 0; flags[0] = 0;

第二个房间：

Condistion 1 ：when flags[1] = 1; dp[1] = nums[1];
Condistion 2 ：whenflags[1] = 0; dp[1] = dp[0];
选 Condistion 1 还是 Condistion 2呢？比较两种情况下dp[1]的大小推广到前i个房间: (i>=2)
when flags[i] = 1, dp[i] = nums[i] + dp[i-2]
when flags[i] = 0; dp[i] = dp[i-1]

5、状态转移方程：

dp[0] = nums[0];  dp[1] = max(nums[0],nums[1]);  for(int i = 2;i<n;i++)      dp[i] = max(nums[i] + dp[i-2],dp[i-1])

6、代码实现

class Solution {      public int rob(int[] nums) {          if(nums.length == 0)              return 0;          int [] dp = new int[nums.length];          dp[0] = nums[0];          // 每次做数组判定时都需要做数组边界判定，防止越界          if(nums.length < 2)              return nums[0];          dp[1] = (nums[0]>nums[1]) ? nums[0] : nums[1];          for(int i = 2;i<nums.length;i++)              dp[i] = ((nums[i] + dp[i-2]) > dp[i-1]) ? (nums[i]+dp[i-2]) : dp[i-1];          return dp[nums.length-1];      }  }

例2:最大子段和

动态规划思考步骤：

1、原问题

给定一个数组，求这个数组的连续子数组中，最大的那一段的和。如数组[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 的子段为：[-2,1]、[1,-3,4,-1]、[4,-1,2,1]、…、[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，和最大的是[4,1,2,1]，为6。

示例：  Input: int [] nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],  Output: 6  Explanation: [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

来源于LeetCode 53. Maximum Subarray

2、子问题

只考虑第一个元素，则最大子段和为其本身 DP[0] = nums[0]
考虑前两个元素，最大子段和为 nums[0],num[1]以及 nums[0] + num[1] 中最大值设为DP[1]
考虑前三个元素，如何求其最大子段和？还是分为两种情况讨论，第三个元素在最后的字串内吗？
- 若第三个元素也包含在最后的字串内，则DP[2] = Max(DP[1]+nums[2] , nums[2])

3、确认状态

DP[i] 为以nums[i]结尾的子段的最大最短和

例如 DP[1]则为以nums[1]结尾的最大字段和

4、初始状态

dp[0] = nums[0]

dp[1] = max(dp[0]+nums[1] , nums[1])

5、状态转移方程：

dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])

6、解题代码：

public class lc53_MaximumSubarray {      public int maxSubArray(int[] nums) {          int len = nums.length;          if(len == 0)              return 0;          int [] dp = new int[len];          dp[0] = nums[0];          int max = dp[0];          for (int i = 1; i<len;i++){              dp[i] = (dp[i-1]+nums[i] > nums[i]) ? dp[i-1]+nums[i] : nums[i];              if (dp[i]>max)                  max = dp[i];          }          return max;      }  }

例3：找零钱

已知不同面值的钞票，求如何用最少数量的钞票组成某个金额，求可以使用的最少钞票数量。如果任意数量的已知面值钞票都无法组成该金额，则返回-1。

示例：  Input: coins = [1, 2, 5], amount = 11  Output: 3  Explanation: 11 = 5 + 5 + 1  Input: coins = [2], amount = 3  Output: -1

来源于LeetCode 322. Coin Change

动态规划解题步骤：

将原问题拆分成子问题

已知什么？显而易见，钞票的金额都只需要其本身1张即可
如何在已知钞票的情况下构造出金额X需要的最少钞票组合

确认状态

DP[0] – DP[amount] 表示构造金额amount需要的最小钞票数

确认边界状态（初始条件）

DP[coin] = 1 其他的都未知初始值设为 -1
例如coins = [1, 2, 5], amount = 11 已知 dp[1]、dp[2]、dp[5] =1
现在已知 DP[coin] 需要求出每一个DP[amount]

状态转移方程

dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2], dp[i-5]) + 1

解题代码：（java）

    public int coinChange(int[] coins, int amount) {          int len = coins.length;          if (len == 0 || amount<0)              return -1;          if (amount==0)              return 0;          int [] dp = new int[amount+1];          for (int i = 0; i <= amount; i++){              dp[i] = -1;          }          for (int i = 0; i< len;i++){              if(coins[i] == amount)                  return 1;              if(coins[i] < amount)                  dp[coins[i]] = 1;          }          // State Transfer Function          for(int i = 1; i <= amount;i++){              for (int j = 0; j < len; j++){                  if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != -1){                      if (dp[i] == -1 || dp[i] > dp[i - coins[j]] + 1){                          dp[i] = dp[i - coins[j]] + 1;                      }                  }              }          }          return dp[amount];      }