过拟合解决方案之正则化

2019 年 11 月 13 日
筆記

1.过拟合问题

对于过拟合问题，通常原因是模型选择太过复杂，也有可能是训练数据太少。对于模型太复杂的情况，我们一般有如下考虑：一是通过分析删除部分特征（比如重复多余的特征或者对输出值贡献不太大的特征），但是这样有可能会损失一部分信息。所以，我们可以通过正则化的方法来降低参数值，从而避免过拟合问题。对于过拟合问题的详细描述，可以查看我的另一篇博客机器学习之欠拟合与过拟合。

2.正则化

回顾一下，在回归问题中，在确定模型之后，要根据该损失函数找出使得损失函数最小的参数矩阵。在整个回归过程中，最为重要的一步是确定回归模型。通常情况下，如果选择的模型太简单，就会欠拟合。如果模型选择太复杂，就会过拟合。正则化可以很好地解决之一问题，通过对某些参数进行“惩罚”，就可以达到降低参数值的目的。正则化的方法有很多，这里仅介绍L1正则化和L2正则化，对应的分别是Lasson回归和Ridge回归。正则化就是在损失函数中加入正则项（用(Omega(theta))表示），L1正则对应的正则项为：(L1 = lambdasum_{i=1}^n|theta_i|)，L2对应的正则项是：(L2 = lambdasum_{i=1}^ntheta_i^2)。例如线性回归的正则化损失函数为：

[J(theta)={1over 2m} sum_{i=1}^m (h_theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2 + Omega(theta)tag{2.1}]

逻辑回归的正则化损失函数为：

[J(theta)= dfrac{1}{m}sum_{i=1}^m[-y^{(i)}ln(h_theta(x^{(i)}))-(1-y^{(i)})ln(1-h_theta(x^{(i)}))] +Omega(theta) tag{2.2}]

3.L1正则与L2正则的不同

3.1L1正则

在介绍L1正则之前，我们有必要了解一下L0范数，L0范数表示向量中非零元素的个数，其数学表达式为：

[||x||_0 = sum_{j=1}^{|x|} x_j neq 0?1:0 tag{3.1.1}]

如果我们使用L0范数作为正则项（即(Omega(theta)=lambda||theta||_0)），那就说明我们希望权向量(w)当中的大部分元素都是零。L0正则更通俗的解释是：如果要增加模型复杂度来加强模型的表达能力，对于增加的每个参数，我们都要进行这样的考量—-该参数不为0时对初始损失函数（即不加正则项的损失函数）的降低程度是否达到(lambda)。如果不足(lambda)，我们认为增加这样的复杂度是得不偿失的。通过L0正则，可以使模型稀疏化，并且在一定程度上实现了特征选择（如果某个参数为0，相当于摒弃了该参数对应的样本特征）。但是由于L0正则项不连续、不可导、也不是凸函数，所以最小化L0正则损失函数是一个NP问题，相当复杂。所以我们需要更为有效的方式—-L1正则。L1范数是L0范数最优凸近似，比L0范数更容易求得最优解。所以我们可以用L1正则来近似代替L0正则。如果采用L1正则，那么损失函数就变为：

[J(theta) =J(theta)_0 + dfrac{1}{2m}lambdasum_{i=1}^n｜theta_i｜) tag{3.1.2}]

对参数求偏导数的结果就是：

[dfrac{partial J(theta)}{partial theta_0 } = dfrac{partial J(theta)_0}{partial theta_0}，dfrac{partial J(theta)}{partial theta_i } = dfrac{partial J(theta)_0}{partial theta_i} + dfrac{1}{m}lambda sgn(theta_i)quad (i = 1,2,dots,n) tag{3.1.3}]

在梯度下降法中，对应的参数更新方式为：

[theta_0 = theta_0 -alphadfrac{partial J(theta)_0}{partial theta_0},theta_i = theta_i – alphadfrac{partial J(theta)_0}{partial theta_i} -dfrac{alpha}{m} lambda sgn(theta_i)) quad (i = 1,2,dots,n) tag{3.1.4} ]

上述各式中，(J(theta_0))表示初始损失函数（即未添加正则项的损失函数），sgn为符号函数。正则项和(theta_0)无关是因为(theta_0)与任何特征项都无关（即不对应任何(x_i)），所以(theta_0)对过拟合的影响并不大，也就不需要在正则项中引入。

3.2L2正则

L0和L1正则都会使参数矩阵变得稀疏（即存在很多为0的元素），对样本特征有所舍弃，虽然对减小方差很有作用，但通常这会使偏差变大。那么有没有什么方法可以使方差变小的同时，偏差又不会变得太大呢？L2正则就可以解决这一问题。L2范数的数学表达式的直观解释是参数的平方的(lambda)倍求和，如果采用L2范数作为正则项，这会让部分参数值非常小，接近于0，但并不是等于0。这就保证了不会舍弃样本特征，只是让特征对应的权重变小。同样可以起到减小方差的作用，并且偏差不会变得太大。如果采用L1正则，那么损失函数就变为：

[J(theta) =J(theta)_0 + dfrac{1}{2m}lambdasum_{i=1}^ntheta_i^2 tag{3.2.1}]

对参数求偏导数的结果就是：

在梯度下降法中，对应的参数更新方式为：

[theta_0 = theta_0 -alphadfrac{partial J(theta)_0}{partial theta_0},theta_i = theta_i – dfrac{partial J(theta)_0}{partial theta_i} -dfrac{alpha}{m} 2lambda theta_i quad (i = 1,2,dots,n) tag{3.2.3} ]

上述各式中，(J(theta_0))表示初始损失函数（即未添加正则项的损失函数）。（不要纠结于系数，m和2m都是一样的，只是方便求偏导时约去1/2）。

对于线性回归来说，初始损失函数(J(theta)_0 =dfrac{1}{2m}sum_limits{i=0}^m(y^{(i)}-h_theta(x^{(i)}))^2)。

加入正则项后，最小二乘法求解结果为：(theta = left(X^TX+lambda left[begin{matrix} 0 \ &1 \ & & 1 \ & & &ddots \ & & & & 1 end{matrix} right]right)^{-1}X^TY)。

对于逻辑回归来说，初始损失函数(J(theta)_0= dfrac{1}{m}sum_{i=1}^m[-yln(h_theta(x))-(1-y)ln(1-h_theta(x))])。

4.总结

对于过拟合问题，我们可以采用正则化来解决。在机器学习中，我们一般会使用L2正则。在使用正则化的时候，要注意正则化参数(lambda)的选择。如果(lambda)太小，那么正则项几乎就没有起到作用，也就无法解决过拟合问题；如果(lambda)太大，这时除了(theta_0)以外的其他参数(theta_i(i = 1,2,dots,n))就会很小，最后得到的模型几乎就是一条水平直线，会出现欠拟合问题。