数学期望
- 2020 年 9 月 24 日
- 筆記
离散型
\(
如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。
\\
离散型随机变量的一切可能的取值x_i与对应的概率p(x_i)乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望(若该求和绝对收敛），记为E(x)。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。
\)
公式
\(离散型随机变量X的取值为X_1,X_2,X_3,…,X_n，p(X_1),p(X_2),p(X_3),…,p(X_n)为X对应取值的概率，可理解为数据X_1,X_2,X_3,…,X_n出现的频率f(X_i)，则：
\\
E(X)=X_1\times p(X_1)+X_2*p(X_2)+…+X_n\times p(X_n)=X_1\times f(X_1)+X_2\times f(X_2)+…+X_n\times f(X_n)
\)
\\
E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k
\]
连续型
\(
设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分的值\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx为随机变量的数学期望，记为E(X)。
\)
\]
\(
若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。
\\
数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定。若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望。
\)
定理
\(
若随机变量Y=g(x)符合函数，且\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx绝对收敛，则有：
\)
\]
\(
该定理的意义在于：我们求E(Y)时不需要算出Y的分布律或者概率分布，只要利用X的分布律或概率密度即可。
\\
上述定理还可以推广到两个或以上随机变量的函数情况。
\\
设Z是随机变量X、Y的函数Z=g(X,Y)（g是连续函数），Z是一个一维随机变量，二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)，则有：
\)
\]
区别
\(
离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。
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变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。例如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量。k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数\sqrt{20}，因而k是离散型随机变量。
\\
如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。例如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、无理数\sqrt{20}等，因而称这随机变量是连续型随机变量。
\)
性质
\(
设C为一个常数，X和Y是两个随机变量。以下是数学期望的重要性质：
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1.E(C)=C
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2.E(CX)=CE(X)
\\
3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)
\\
4.当X和Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)
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性质3和性质4可以推到到任意有限个相互独立的随机变量之和或之积的情况。
\\
证明：这里只对连续性随机变量的情况加以证明，对离散型的证明只要将证明中的积分\int改为和式\sum即可。
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1.永远都只能取C，常数C的平均数还是它本身。
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2.E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}cxf(x)dx=c\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx
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3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)。
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\]
\(
4.若X和Y相互独立，其边缘概率密度函数为f_X(x),f_Y(y)，有f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
\)
\]
