逻辑回归的原理与实践

• 2020 年 8 月 10 日
• AI
• Python, 算法

1.学习目标

• 了解逻辑回归的理论
• 掌握逻辑回归的sklearn函数调用使用并将其运用到鸢尾花数据集预测

2.逻辑回归的应用

逻辑回归模型广泛用于各个领域，包括机器学习，大多数医学领域和社会科学。例如，最初由Boyd 等人开发的创伤和损伤严重度评分（TRISS）被广泛用于预测受伤患者的死亡率，使用逻辑回归 基于观察到的患者特征（年龄，性别，体重指数，各种血液检查的结果等）分析预测发生特定疾病（例如糖尿病，冠心病）的风险。逻辑回归模型也用于预测在给定的过程中，系统或产品的故障的可能性。还用于市场营销应用程序，例如预测客户购买产品或中止订购的倾向等。在经济学中它可以用来预测一个人选择进入劳动力市场的可能性，而商业应用则可以用来预测房主拖欠抵押贷款的可能性。

逻辑回归模型现在同样是很多分类算法的基础组件，比如 分类任务中基于GBDT算法+LR逻辑回归实现的信用卡交易反欺诈，CTR(点击通过率)预估等，其好处在于输出值自然地落在0到1之间，并且有概率意义。模型清晰，有对应的概率学理论基础。它拟合出来的参数就代表了每一个特征(feature)对结果的影响。也是一个理解数据的好工具。但同时由于其本质上是一个线性的分类器，所以不能应对较为复杂的数据情况。很多时候我们也会拿逻辑回归模型去做一些任务尝试的基线。

3.逻辑回归原理简介

逻辑回归，该模型的输出变量范围始终在 0 和 1 之间。

逻辑回归模型的假设是：

其中： X 代表特征向量 g 代表逻辑函数(logistic function)是一个常用的逻辑函数为 S 形函数(Sigmoid function)，公式为：

该函数的图像为：

的作用是，对于给定的输入变量，根据选择的参数计算输出变量=1 的可能性(estimated probablity)即

例如，如果对于给定的?，通过已经确定的参数计算得出，则表示有 70%的几率?为正向类，相应地?为负向类的几率为 1-0.7=0.3。

在逻辑回归中，我们预测：
当时，预测 y = 1。
当时，预测 y = 0 。
根据上面绘制出的 Sigmoid函数 图像，我们知道当
z = 0 时 g(z) = 0.5
z > 0 时 g(z) > 0.5
z < 0 时 g(z) < 0.5
又 ，即：
时，预测 y = 1
时，预测 y = 0

因为各个观测样本之间相互独立，那么它们的联合分布为各边缘分布的乘积。得到似然函数为

接下来我们的目的就是求解似然函数的最大值，对上式两边取对数，得到

所以，我们就可以构造Loss Functionl如下式

加上-1/m，求解的最小值，也就是求解似然函数的最大值，主要是为了方便后面的梯度下降法。所以使用梯度下降法求解，其更新函数为

而

4.Demo实践

• Step1：库函数导入

##  基础函数库
import numpy as np 

## 导入画图库
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

## 导入逻辑回归模型函数
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

• Step2：训练模型

##Demo演示LogisticRegression分类

## 构造数据集
x_fearures = np.array([[-1, -2], [-2, -1], [-3, -2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]])
y_label = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])

## 调用逻辑回归模型
lr_clf = LogisticRegression()

## 用逻辑回归模型拟合构造的数据集
lr_clf = lr_clf.fit(x_fearures, y_label) #其拟合方程为 y=w0+w1*x1+w2*x2

• Step3：模型参数查看

##查看其对应模型的w
print('the weight of Logistic Regression:', lr_clf.coef_)
##查看其对应模型的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:', lr_clf.intercept_)
##the weight of Logistic Regression:[[0.73462087 0.6947908]]
##the intercept(w0) of Logistic Regression:[-0.03643213]

• Step4：数据和模型可视化

## 可视化构造的数据样本点
plt.figure()
plt.scatter(x_fearures[:, 0], x_fearures[:, 1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')
plt.show()

# 可视化决策边界
plt.figure()
plt.scatter(x_fearures[:, 0], x_fearures[:, 1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')

nx, ny = 200, 100
x_min, x_max = plt.xlim()
y_min, y_max = plt.ylim()
x_grid, y_grid = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, nx), np.linspace(y_min, y_max, ny))

z_proba = lr_clf.predict_proba(np.c_[x_grid.ravel(), y_grid.ravel()])
z_proba = z_proba[:, 1].reshape(x_grid.shape)
plt.contour(x_grid, y_grid, z_proba, [0.5], linewidths=2., colors='blue')

plt.show()

### 可视化预测新样本

plt.figure()
## new point 1
x_fearures_new1 = np.array([[0, -1]])
plt.scatter(x_fearures_new1[:, 0], x_fearures_new1[:, 1], s=50, cmap='viridis')
plt.annotate(s='New point 1', xy=(0, -1), xytext=(-2, 0), color='blue', arrowprops=dict(arrowstyle='-|>', connectionstyle='arc3', color='red'))

## new point 2
x_fearures_new2 = np.array([[1, 2]])
plt.scatter(x_fearures_new2[:, 0], x_fearures_new2[:, 1], s=50, cmap='viridis')
plt.annotate(s='New point 2', xy=(1,2), xytext=(-1.5, 2.5), color='red', arrowprops=dict(arrowstyle='-|>', connectionstyle='arc3', color='red'))

## 训练样本
plt.scatter(x_fearures[:, 0], x_fearures[:, 1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')
plt.title('Dataset')

# 可视化决策边界
plt.contour(x_grid, y_grid, z_proba, [0.5], linewidths=2., colors='blue')

plt.show()

• Step5：模型预测

##在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测
y_label_new1_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new2)
print('The New point 1 predict class:\n', y_label_new1_predict)
print('The New point 2 predict class:\n', y_label_new2_predict)
##由于逻辑回归模型是概率预测模型（前文介绍的p = p(y=1|x,\theta)）,所有我们可以利用predict_proba函数预测其概率
y_label_new1_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new2)
print('The New point 1 predict Probability of each class:\n', y_label_new1_predict_proba)
print('The New point 2 predict Probability of each class:\n', y_label_new2_predict_proba)
##TheNewpoint1predictclass:
##[0]
##TheNewpoint2predictclass:
##[1]
##TheNewpoint1predictProbabilityofeachclass:
##[[0.695677240.30432276]]
##TheNewpoint2predictProbabilityofeachclass:
##[[0.119839360.88016064]]

可以发现训练好的回归模型将X_new1预测为了类别0（判别面左下侧），X_new2预测为了类别1（判别面右上侧）。其训练得到的逻辑回归模型的概率为0.5的判别面为上图中蓝色的线。

5.基于鸢尾花（iris）数据集的逻辑回归分类实践

在实践的最开始，我们首先需要导入一些基础的函数库包括：numpy （Python进行科学计算的基础软件包），pandas（pandas是一种快速，强大，灵活且易于使用的开源数据分析和处理工具），matplotlib和seaborn绘图。

• Step1：函数库导入

##  基础函数库
import numpy as np 
import pandas as pd

## 绘图函数库
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

本次我们选择鸢花数据（iris）进行方法的尝试训练，该数据集一共包含5个变量，其中4个特征变量，1个目标分类变量。共有150个样本，目标变量为花的类别其都属于鸢尾属下的三个亚属，分别是山鸢尾 (Iris-setosa)，变色鸢尾(Iris-versicolor)和维吉尼亚鸢尾(Iris-virginica)。包含的三种鸢尾花的四个特征，分别是花萼长度(cm)、花萼宽度(cm)、花瓣长度(cm)、花瓣宽度(cm)，这些形态特征在过去被用来识别物种。

• Step2：数据读取/载入

##我们利用sklearn中自带的iris数据作为数据载入，并利用Pandas转化为DataFrame格式
from sklearn.datasets import load_iris
data = load_iris() #得到数据特征
iris_target = data.target #得到数据对应的标签
iris_features = pd.DataFrame(data=data.data, columns=data.feature_names) #利用Pandas转化为DataFrame格式

• Step3：数据信息简单查看

##利用.info()查看数据的整体信息
iris_features.info()

##<class'pandas.core.frame.DataFrame'>
##RangeIndex:150entries,0to149
##Datacolumns(total4columns):
###ColumnNon-NullCountDtype
##----------------------------
##0sepallength(cm)150non-nullfloat64
##1sepalwidth(cm)150non-nullfloat64
##2petallength(cm)150non-nullfloat64
##3petalwidth(cm)150non-nullfloat64
##dtypes:float64(4)
##memoryusage:4.8KB

##进行简单的数据查看，我们可以利用.head()头部.tail()尾部
iris_features.head()

iris_features.tail()

##其对应的类别标签为，其中0，1，2分别代表'setosa','versicolor','virginica'三种不同花的类别

iris_target


##array([0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,


##0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,


##0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,


##1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,


##1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,


##2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,


##2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2])

##利用value_counts函数查看每个类别数量

pd.Series(iris_target).value_counts()

##2    50

##1    50

##0    50

##dtype:int64

##对于特征进行一些统计描述

iris_features.describe()

从统计描述中我们可以看到不同数值特征的变化范围。

• **Step4:**可视化描述

## 合并标签和特征信息
iris_all = iris_features.copy() ##进行浅拷贝，防止对于原始数据的修改
iris_all['target'] = iris_target

## 特征与标签组合的散点可视化
sns.pairplot(data=iris_all, diag_kind='hist', hue= 'target')
plt.show()

从上图可以发现，在2D情况下不同的特征组合对于不同类别的花的散点分布，以及大概的区分能力。

for col in iris_features.columns:
    sns.boxplot(x='target', y=col, saturation=0.5, palette='pastel', data=iris_all)
    plt.title(col)
    plt.show()

利用箱型图我们也可以得到不同类别在不同特征上的分布差异情况。

# 选取其前三个特征绘制三维散点图
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

iris_all_class0 = iris_all[iris_all['target'] == 0].values
iris_all_class1 = iris_all[iris_all['target'] == 1].values
iris_all_class2 = iris_all[iris_all['target'] == 2].values
# 'setosa'(0), 'versicolor'(1), 'virginica'(2)
ax.scatter(iris_all_class0[:, 0], iris_all_class0[:, 1], iris_all_class0[:, 2], label='setosa')
ax.scatter(iris_all_class1[:, 0], iris_all_class1[:, 1], iris_all_class1[:, 2], label='versicolor')
ax.scatter(iris_all_class2[:, 0], iris_all_class2[:, 1], iris_all_class2[:, 2], label='virginica')
plt.legend()

plt.show()

• Step5:利用逻辑回归模型在二分类上进行训练和预测

##为了正确评估模型性能，将数据划分为训练集和测试集，并在训练集上训练模型，在测试集上验证模型性能。
from sklearn.model_selection import train_test_split
##选择其类别为0和1的样本（不包括类别为2的样本）
iris_features_part = iris_features.iloc[:100]
iris_target_part = iris_target[:100]
##测试集大小为20%，80%/20%分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris_features_part, iris_target_part, test_size=0.2, random_state=2020)

##从sklearn中导入逻辑回归模型
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

##定义逻辑回归模型
clf = LogisticRegression(random_state=0, solver='lbfgs')

##在训练集上训练逻辑回归模型
clf.fit(x_train, y_train)

##查看其对应的w
print('the weight of Logistic Regression:', clf.coef_)

##查看其对应的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:', clf.intercept_)

##在训练集和测试集上分别利用训练好的模型进行预测
train_predict = clf.predict(x_train)
test_predict = clf.predict(x_test)

from sklearn import metrics
##利用accuracy（准确度）【预测正确的样本数目占总预测样本数目的比例】评估模型效果
print('The accuracy of the Logistic Regression is:', metrics.accuracy_score(y_train, train_predict))
print('The accuracy of the Logistic Regression is:', metrics.accuracy_score(y_test, test_predict))

##查看混淆矩阵(预测值和真实值的各类情况统计矩阵)
confusion_matrix_result = metrics.confusion_matrix(test_predict, y_test)
print('The confusion matrix result:\n', confusion_matrix_result)

##利用热力图对于结果进行可视化
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(confusion_matrix_result, annot=True, cmap='Blues')
plt.xlabel('Predictedlabels')
plt.ylabel('Truelabels')
plt.show()

##The accuracy of the Logistic Regressionis:1.0
##The accuracy of the Logistic Regressionis:1.0
##The confusion matrix result:
##[[9  0]
##[0  11]]

我们可以发现其准确度为1，代表所有的样本都预测正确了。

• Step6:利用逻辑回归模型在三分类(多分类)上进行训练和预测

##测试集大小为20%，80%/20%分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris_features, iris_target, test_size=0.2, random_state=2020)

##定义逻辑回归模型
clf = LogisticRegression(random_state=0, solver='lbfgs')

##在训练集上训练逻辑回归模型
clf.fit(x_train, y_train)

##查看其对应的w
print('the weight of Logistic Regression:\n', clf.coef_)
##查看其对应的w0
print('the intercept(w0) of Logistic Regression:\n', clf.intercept_)
##由于这个是3分类，所有我们这里得到了三个逻辑回归模型的参数，其三个逻辑回归组合起来即可实现三分类

##在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测
train_predict = clf.predict(x_train)
test_predict = clf.predict(x_test)
##由于逻辑回归模型是概率预测模型（前文介绍的p=p(y=1|x,\theta)）,所有我们可以利用predict_proba函数预测其概率

train_predict_proba = clf.predict_proba(x_train)
test_predict_proba = clf.predict_proba(x_test)

print('The test predict Probability of each class:\n', test_predict_proba)
##其中第一列代表预测为0类的概率，第二列代表预测为1类的概率，第三列代表预测为2类的概率。

##利用accuracy（准确度）【预测正确的样本数目占总预测样本数目的比例】评估模型效果
print('The accuracy of the Logistic Regression is:', metrics.accuracy_score(y_train, train_predict))
print('The accuracy of the Logistic Regression is:', metrics.accuracy_score(y_test, test_predict))

##查看混淆矩阵
confusion_matrix_result = metrics.confusion_matrix(test_predict, y_test)
print('The confusion matrix result:\n', confusion_matrix_result)

##利用热力图对于结果进行可视化
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(confusion_matrix_result, annot=True, cmap='Blues')
plt.xlabel('Predicted labels')
plt.ylabel('True labels')
plt.show()

##The confusion matrix result:
##[[10  0   0]
##[0   8   2] 
##[0   2   8]]