图的最短路径和拓扑排序
- 2019 年 10 月 24 日
- 筆記
图的最短路径
从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径叫做最短路径
图的最短路径有许多重要的应用。
例如：上图中v0-v8有9个点，可以看做不同的地点，现在要规划出v0到其它某个点地点的最短路线规划
构建最短路径中比较常见的一种算法即为dijstra(迪杰斯特拉)算法
dijstra(迪杰斯特拉)算法
究竟什么是迪杰斯特拉算法？它是如何寻找图中顶点的最短路径呢？
这个算法的本质，是不断刷新起点与其他各个顶点之间的 “距离表”。
让我们来演示一下迪杰斯特拉的详细过程：
第1步，创建距离表。表中的Key是顶点名称，Value是从起点A到对应顶点的已知最短距离。但是，一开始我们并不知道A到其他顶点的最短距离是多少，Value默认是无限大：
第2步，遍历起点A，找到起点A的邻接顶点B和C。从A到B的距离是5，从A到C的距离是2。把这一信息刷新到距离表当中：
第3步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点C。
第4步，遍历顶点C，找到顶点C的邻接顶点D和F（A已经遍历过，不需要考虑）。从C到D的距离是6，所以A到D的距离是2+6=8；从C到F的距离是8，所以从A到F的距离是2+8=10。把这一信息刷新到表中：
接下来重复第3步、第4步所做的操作：
第5步，也就是第3步的重复，从距离表中找到从A出发距离最短的点（C已经遍历过，不需要考虑），也就是顶点B。
第6步，也就是第4步的重复，遍历顶点B，找到顶点B的邻接顶点D和E（A已经遍历过，不需要考虑）。从B到D的距离是1，所以A到D的距离是5+1=6，小于距离表中的8；从B到E的距离是6，所以从A到E的距离是5+6=11。把这一信息刷新到表中：
（在第6步，A到D的距离从8刷新到6，可以看出距离表所发挥的作用。距离表通过迭代刷新，用新路径长度取代旧路径长度，最终可以得到从起点到其他顶点的最短距离）
第7步，从距离表中找到从A出发距离最短的点（B和C不用考虑），也就是顶点D。
第8步，遍历顶点D，找到顶点D的邻接顶点E和F。从D到E的距离是1，所以A到E的距离是6+1=7，小于距离表中的11；从D到F的距离是2，所以从A到F的距离是6+2=8，小于距离表中的10。把这一信息刷新到表中：
第9步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点E。
第10步，遍历顶点E，找到顶点E的邻接顶点G。从E到G的距离是7，所以A到G的距离是7+7=14。把这一信息刷新到表中：
第11步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点F。
第10步，遍历顶点F，找到顶点F的邻接顶点G。从F到G的距离是3，所以A到G的距离是8+3=11，小于距离表中的14。把这一信息刷新到表中：
就这样，除终点以外的全部顶点都已经遍历完毕，距离表中存储的是从起点A到所有顶点的最短距离。显然，从A到G的最短距离是11。（路径：A-B-D-F-G）
代码实现：
/** * 创建图 */ public void createGraph(){ int [] a1 = new int[]{0,1,5,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT}; int [] a2 = new int[]{1,0,3,7,5,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT}; int [] a3 = new int[]{5,3,0,MAX_WEIGHT,1,7,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT}; int [] a4 = new int[]{MAX_WEIGHT,7,MAX_WEIGHT,0,2,MAX_WEIGHT,3,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT}; int [] a5 = new int[]{MAX_WEIGHT,5,1,2,0,3,6,9,MAX_WEIGHT}; int [] a6 = new int[]{MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,7,MAX_WEIGHT,3,0,MAX_WEIGHT,5,MAX_WEIGHT}; int [] a7 = new int[]{MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,3,6,MAX_WEIGHT,0,2,7}; int [] a8 = new int[]{MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,9,5,2,0,4}; int [] a9 = new int[]{MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,MAX_WEIGHT,7,4,0}; matrix[0] = a1; matrix[1] = a2; matrix[2] = a3; matrix[3] = a4; matrix[4] = a5; matrix[5] = a6; matrix[6] = a7; matrix[7] = a8; matrix[8] = a9; }
package cn.itcast.grape; import cn.itcast.treeandgrape.Graph; public class JavaDijstra { private final static int MAXVEX = 9;//顶点，以后不需要写死 private final static int MAXWEING = 65535;//（最大）权重 private int shortTablePath[] = new int[MAXVEX];//存储V0到某顶点最短路径的权值和 例：{0,1,5} /** * 获取一个图的最短路径 */ public void shortestPathDijstra(Graph graph) { int min;//最小值 int k = 0;//记录下标 boolean isgetPath[] = new boolean[MAXVEX];//是否已经拿到了V0到Vm的最短路径 for (int v = 0; v < graph.getVertexSize(); v++) {//遍历顶点数量 shortTablePath[v] = graph.getMatrix()[0][v];//获得V0这一行的权值数组 } shortTablePath[0] = 0;//V0到V0的距离是0， 拿到数据后，不必往回走 isgetPath[0] = true; for (int v = 1; v < graph.getVertexSize(); v++) {//横向 min = MAXWEING;//初始化 for (int w = 0; w < graph.getVertexSize(); w++) {//纵向，对找出来的顶点一个一个遍历 if (!isgetPath[w] && shortTablePath[w] < min) { k = w; min = shortTablePath[w]; } } isgetPath[k] = true; for (int j = 0; j < graph.getVertexSize(); j++) { if (!isgetPath[j] && (min + graph.getMatrix()[k][j] < shortTablePath[j])) { shortTablePath[j] = min + graph.getMatrix()[k][j]; } } } for (int i = 0; i < shortTablePath.length; i++) { System.out.println("V0到V" + i + "的最短路径为：" + shortTablePath[i] + "n"); } } public static void main(String[] args) { Graph graph = new Graph(MAXVEX); graph.createGraph(); JavaDijstra dijstra = new JavaDijstra(); dijstra.shortestPathDijstra(graph); } }
图的拓扑排序
相关概念
AOV网：在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，称为AOV网（Activity On Vertex）。
AVO网不存在环路
拓扑序列：设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图，V中顶点序列V1,V2,……,Vn,满足若从顶点Vi到Vj有一条路径，则在顶点序列中顶点Vi必在顶点Vj之前，则这样的顶点序列称为一个拓扑序列。
拓扑序列并不唯一
拓扑排序就是构造拓扑序列的过程，当AOV网中不存在环路时，全部顶点都会被输出。
拓扑排序算法
思想：从AOV网中选择一个入度为0的顶点输出，然后删除此顶点，并删除一次顶点为尾的弧，继续重复该步骤，直至输出全部顶点或者AOV网中不存在入度为0的顶点为止。
由于拓扑排序需要删除顶点，所以使用邻接表的方式存储图会较为方便
邻接表结构
邻接表的结构不局限于此，可以根据实际情况添加字段，如在拓扑排序中可以在顶点表中增加入度字段，用于统计每个顶点的入度情况。在带权图中可以在边表中添加weight字段，用于表示每条边的权值。
测试图：
对应的邻接表结构：
代码实现：
package cn.itcast.grape; import java.util.Stack; public class DnGraphTopologic { private int numVertexes; private VertexNode[] adjList;//邻接顶点的一维数组 public DnGraphTopologic(int numVertexes) { this.numVertexes = numVertexes; } private void createGraph() { VertexNode node0 = new VertexNode(0, "v0"); VertexNode node1 = new VertexNode(0, "v1"); VertexNode node2 = new VertexNode(2, "v2"); VertexNode node3 = new VertexNode(0, "v3"); VertexNode node4 = new VertexNode(2, "v4"); VertexNode node5 = new VertexNode(3, "v5"); VertexNode node6 = new VertexNode(1, "v6"); VertexNode node7 = new VertexNode(2, "v7"); VertexNode node8 = new VertexNode(2, "v8"); VertexNode node9 = new VertexNode(1, "v9"); VertexNode node10 = new VertexNode(1, "v10"); VertexNode node11 = new VertexNode(2, "v11"); VertexNode node12 = new VertexNode(1, "v12"); VertexNode node13 = new VertexNode(2, "v13"); adjList = new VertexNode[numVertexes]; adjList[0] = node0; adjList[1] = node1; adjList[2] = node2; adjList[3] = node3; adjList[4] = node4; adjList[5] = node5; adjList[6] = node6; adjList[7] = node7; adjList[8] = node8; adjList[9] = node9; adjList[10] = node10; adjList[11] = node11; adjList[12] = node12; adjList[13] = node13; node0.firstEdge = new EdgeNode(11); node0.firstEdge.next = new EdgeNode(5); node0.firstEdge.next.next = new EdgeNode(4); node1.firstEdge = new EdgeNode(8); node1.firstEdge.next = new EdgeNode(4); node1.firstEdge.next.next = new EdgeNode(2); node2.firstEdge = new EdgeNode(9); node2.firstEdge.next = new EdgeNode(6); node2.firstEdge.next.next = new EdgeNode(5); node3.firstEdge = new EdgeNode(13); node3.firstEdge.next = new EdgeNode(2); node4.firstEdge = new EdgeNode(7); node5.firstEdge = new EdgeNode(12); node5.firstEdge.next = new EdgeNode(8); node6.firstEdge = new EdgeNode(5); node8.firstEdge = new EdgeNode(7); node9.firstEdge = new EdgeNode(11); node9.firstEdge.next = new EdgeNode(10); node10.firstEdge = new EdgeNode(13); node12.firstEdge = new EdgeNode(9); } /** * 拓扑排序 */ private void topologicalSort() throws Exception { Stack<Integer> stack = new Stack<>(); int count = 0;//计数，看拓扑排序是不是正确 int k = 0; for (int i = 0; i < numVertexes; i++) { if (adjList[i].in == 0) { stack.push(i); } } while (!stack.isEmpty()) { int pop = stack.pop();//弹出栈 System.out.println("顶点：" + adjList[pop].data); count++; for (EdgeNode node = adjList[pop].firstEdge; node != null; node = node.next) {//横向遍历 k = node.adjVert;//下标 if (--adjList[k].in == 0) { stack.push(k);//入度为0，入栈 } } } if (count<numVertexes){ throw new Exception("拓扑排序失败"); } } //边表顶点（横） class EdgeNode { private int adjVert;//下标 private EdgeNode next; private int weight;//全重，先看有没有权重 public EdgeNode(int adjVert) { this.adjVert = adjVert; } public int getAdjVert() { return adjVert; } public void setAdjVert(int adjVert) { this.adjVert = adjVert; } public EdgeNode getNext() { return next; } public void setNext(EdgeNode next) { this.next = next; } public int getWeight() { return weight; } public void setWeight(int weight) { this.weight = weight; } } //邻接顶点(纵) class VertexNode { private int in;//入度 private String data; private EdgeNode firstEdge; public VertexNode(int in, String data) { this.in = in; this.data = data; } } public static void main(String[] args) { DnGraphTopologic dnGraphTopologic = new DnGraphTopologic(14); dnGraphTopologic.createGraph(); try { dnGraphTopologic.topologicalSort(); } catch (Exception e) { e.printStackTrace(); } } }
