信息论基本知识

1、熵

2、联和熵与条件熵

3、互信息

4、交叉熵与相对熵

5、困惑度

6、总结

1、熵

熵也被称为自信息，描述一个随机变量的不确定性的数量。熵越大，表明不确定性越大，所包含的信息量也越大，就说明很难去预测事件行为或者正确估值。
熵的公式定义：

解答：

这里计算将相同概率的字符合并计算，结果表明什么呢？
结果说明传输一个字符平均只需要2.5个比特：

2、联和熵与条件熵

联和熵描述一对随机变量平均所需要的信息量。公式定义：

 与之联系密切的条件熵指的是：给定X的情况下，Y的条件熵为：

 将以上公式（1）化简可以得到 H(X,Y)=H(X)+H(Y∣X) 公式(4)，被称为熵的连锁规则。

3、互信息

熵的连锁规则H(X,Y)=H(X)+H(Y∣X)=H(Y)+H(X∣Y), 所以H(X)−H(X∣Y)=H(Y)−H(Y∣X)，这个差就成为互信息，记作I(X;Y) 。

在图中I(X;Y)反映的是已知Y的值后X的不确定性的减少量。在图中I(X;Y)反映的是已知Y的值后X的不确定性的减少量。在图中I(X;Y)反映的是已知Y的值后X的不确定性的减少量。简而言之，Y的值透露了多少关于X的信息量。
因为H(X|X)=0，所以H(X)=H(X)-H(X|X)=I(X;X)，这公式推导说明了熵也成为自信息的概念，也说明两个完全相互依赖的变量之间的互信息并不是一个常量，而是取决定于它们的熵。
实际应用： 互信息描述了两个随机变量之间的统计相关性，平均互信息是非负的，在NLP中用来判断两个对象之间的关系，比如：根据主题类别和词汇之间的互信息进行特征提取。另外在词汇聚类、汉语自动分词、词义消岐、文本分类等问题有着重要用途。

4、交叉熵与相对熵

相对熵简称KL差异或KL距离，衡量相同时间空间里两个概率分布相对差异的测度。

根据公式可知，当两个随机分布完全相同时，即p=q,其相对熵为0。当两个随机分布差别增加，相对熵的期望值也增大。
相对熵与互信息的联系如下证明：

交叉熵就是机器学习中经常提到的一种熵的计算。它到底是什么呢？

交叉熵是衡量估计模型与真实概率分布之间之间差异情况。
如果一个随机变量X~p(x),q(x)为用于近似p(x)的概率分布，则实际p与模型q之间的交叉熵定义为：

在设计模型q时候，目的是使交叉熵最小，这样模型的表现更好，从而使模型更接近最真实的概率分布p(x),一般的，当样本足够大时候，上面计算近似为：

5、困惑度

在设计语言模型，通常用困惑度（perplexity）来代替交叉熵衡量语言模型的好坏。

所以，寻找困惑度最小的模型成为模型设计的任务，通常指的是模型对于测试数据的困惑度。

6、总结

在信息论的熵部分，我们学到了什么呢？开始说到，这是NLP基础，也是入门机器学习的重要理论部分。

1. 熵（自信息）：描述一个随机变量的不确定性的数量。熵越大，表明不确定性越大，所包含的信息量也越大，就说明很难去预测事件行为或者正确估值。
2. 联和熵：描述一对随机变量平均所需要的信息量。
3. 条件熵：给定X的情况下，通过联和熵计算Y的条件熵，类似于条件概率思想。由此引出互信息概念。
4. 相对熵：简称KL差异或KL距离，衡量相同时间空间里两个概率分布相对差异的测度，与互信息密切相关。
5. 交叉熵：衡量估计模型与真实概率分布之间之间差异情况。

学习之后的一些记录，发现这部分知识在其他方面经常提及到，却不知其原理知识，因此做了一个简单的总结备忘，与尔共享！

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