斐波那契数列通项公式
目录
简介
斐波那契数列是指的这样的一个数列，从第3项开始，以后每一项都等于前两项之和。写成递推公式即：
\[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n \ge 3)
\]
\]
假设令\(a_1=1,a_2=1\)，则斐波那契数列指的是这样的一串数：\({1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…}\)。接下来，文章提到斐波那契数列特指\(a_1=1,a_2=1\)的这串数。
斐波那契数列的通项公式及证明
通项公式
斐波那契数列的通项公式非常对称：
\[a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]
\]
\]
可以发现，斐波那契数列都是整数，但斐波那契数列的通项公式确是由无理数拼凑而来的。那么接下来，我们就来看看如何证明（求解）
证明
由
\[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n \ge 3)
\]
\]
可设
\[a_n-\lambda a_{n-1}=\mu (a_{n-1}-\lambda a_{n-2})
\]
\]
移项后，使系数相同，得到：
\[\left\{\begin{matrix}
\lambda + \mu = 1\\
-\lambda \times \mu =1
\end{matrix}\right.\]
\lambda + \mu = 1\\
-\lambda \times \mu =1
\end{matrix}\right.\]
解得
\[\left\{\begin{matrix}
\lambda = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
\mu = \frac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.\text{或}\left\{\begin{matrix}
\lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\
\mu = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.\]
\lambda = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
\mu = \frac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.\text{或}\left\{\begin{matrix}
\lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\
\mu = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.\]
将其带回到原式可得到
\[\left\{\begin{matrix}
a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-2})—————1.\\
a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-2})—————2.
\end{matrix}\right.\]
a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-2})—————1.\\
a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-2})—————2.
\end{matrix}\right.\]
然后
\[2. \times \frac{1-\sqrt{5}}{2}-1.\times \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\]
\]
化简得
\[a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]
\]
\]
