拉格朗日对偶性(Lagrange duality)
- 2019 年 10 月 3 日
- 筆記
拉格朗日对偶性(Lagrange duality)
1. 从原始问题到对偶问题
对偶性是优化理论中一个重要的部分，带约束的优化问题是机器学习中经常遇到的问题，这类问题都可以用如下形式表达
[ begin{aligned} min ;; &f(x) \ s.t.;; & g_i(x) le 0 ,;; i=1,cdots, m\ & h_i(x) = 0,;; i=1,cdots,n\ end{aligned} ]
约束条件减少需要求解的空间，但在机器学习中，约束条件往往比较复杂并且较多。因此先计算约束条件再在约束空间中计算最优值非常不方便。于是用广义拉格朗日函数将带约束优化问题转化为无约束优化问题
[ L(x,lambda,eta) = f(x)+sum_i^m lambda_i g_i(x) + sum_i^n eta_i h_i(x) ]
这时，若按照拉格朗日乘数法直接对(x、lambda、eta)求偏导的话，结果对简化复杂的约束条件没有益处。我们希望获取一种能够优化原问题，又能简化计算的方法。于是进一步挖掘(lambda、eta)能够带来的东西，当我们对广义拉格朗日函数作关于(lambda、eta) 的最大化时
[ theta_P(x) = underset {lambda ge 0,eta} {max};L(x,lambda,eta) ]
其中，要求(lambda ge 0) ，很容易发现，在这个最大化问题中，若(x) 不满足原问题中的约束，那么这个最大化的结果一定是正无穷。例如，(g_i(x)>0) ，在关于(lambda、eta) 最大化时，其系数便会趋于无穷大使得整个式子趋于无穷大。而当(x) 满足约束时，最大化的结果一定是(f(x)) 。依据这个特性，我们可以将原广义拉格朗日函数的极小化问题拆解为两步
[ underset x {min} ;L(x,lambda,eta) = underset x {min} ;theta_P(x) = underset x {min} ;underset {lambda ge 0,eta} {max};L(x,lambda,eta) ]
拆解后的问题$ underset x {min} ;underset {lambda ge 0,eta} {max};L(x,lambda,eta)$ 称为广义拉格朗日函数的极小极大问题，它与原问题是完全等价的。在对偶性中，这个问题被称为原始问题（Primal problem）。
通过原始问题的极小极大问题，可以引出它的对偶问题（Dual problem），其对偶问题就是极小极大问题交换一个位置而已。首先定义
[ theta_D(lambda,eta) = underset {x} {min} L(x,lambda,eta) ]
那么其对偶问题就是
[ underset {lambda ge 0,eta} {max} ; theta_D(lambda,eta)= underset {lambda ge 0,eta} {max} ;underset {x} {min} L(x,lambda,eta) ]
这个问题是广义拉格朗日函数的极大极小问题，将其展开为约束最优化问题得到
[ underset {lambda ,eta} {max} ; theta_D(lambda,eta)= underset {lambda ,eta} {max} ;underset {x} {min} L(x,lambda,eta)\ s.t. lambda_i ge 0,;; i= 1,2,cdots,k ]
可以看出两个函数的变量并不相同，对于原始问题，它的变量是(x)，而对于对偶问题，它的变量是(lambda,;eta) 。并且，这两个问题并不等价，有时候甚至差的有点多。可以理解为其他国家最厉害的乒乓球队员，也没有中国最菜的乒乓球队员厉害，当然这比喻并不准确。
2. 弱对偶与强对偶
对偶函数可以理解为给原始函数找了一个下界，在原始函数计算困难的时候，可以通过解对偶函数来得到一个近似的值。并且在函数满足一定条件的时候，对偶函数的解与原始函数的解是等价的。具体来说，对偶 函数(theta_D(lambda,eta)=underset {x} {min} L(x,lambda,eta)) 确定了原始问题的一个下界，即
[ theta_D(lambda,eta) =underset {x} {min} L(x,lambda,eta)le L(x,lambda,eta)le underset {lambda ge 0,eta} {max};L(x,lambda,eta)=theta_P(x) tag{2-a} ]
即
[ theta_D(lambda,eta) le theta_P(x) ]
其中，(theta_d(lambda,eta))看作其他国家乒乓球运动员，(theta_P(x))看作中国乒乓球运动员，那么其他国家最厉害的也不一定比得上中国最差的。即
[ d^* =underset {lambda ,eta} {max} ; theta_D(lambda,eta)le underset x {min} ;theta_P(x)=p^* tag{2-b} ]
这个性质便是弱对偶性（ weak duality ）。弱对偶性对任何优化问题都成立，这似乎是显然的，因为这个下界并不严格，有时候甚至取到非常小，对近似原问题的解没多大帮助。既有弱对偶性，那么便有强对偶性，强对偶性是指
[ d^* = p^* ]
显然这是一个令人惊喜的性质，这意味着可以通过求解较简单的对偶问题（因为对偶问题总是一个凸优化问题）来得到原问题的解。不过强对偶性在优化问题中是一个非常高深的问题，对我来说更是如此。因此我只能介绍关于强对偶的两个条件：严格条件和KKT条件。
3. KKT条件
严格条件是指原始问题是凸函数，约束条件是仿射函数，若此时不等式约束满足严格条件，即不等号是严格不等号，不能取等号，则强对偶性成立。这个条件在SVM中即变成了对任意一个点，都存在超平面能对其正确划分，也就是数据集是线性可分的。严格条件是强对偶性的充分条件，但并不是必要条件。有些不满足严格条件的可能也有强对偶性。
KKT条件是在满足严格条件的情况下，推导出的变量取值的关系，假设原始问题和对偶问题的极值点分别是(x^*)和(lambda^*,eta^*) ，对应的极值分别是(p^*)和(d^*) 。由于满足强对偶性，有(p^*=d^*) 。将极值点带入得到
[ d^* = theta_D(lambda^*,eta^*) =underset x {min} L(x,lambda^*,eta^*) tag{3-a} ]
这说明(x^*)是(L(x,lambda^*,eta^*))的一个极值点，那么(L(x,lambda^*,eta^*))在(x^*)处的梯度为0，即
[ triangledown f(x^*)+sum_i^mlambda_i g_i(x^*) + sum_i^n eta_i h_i(x^*) = 0 tag{3-b} ]
由式((2-a)) ，
[ begin{aligned} d^* =& underset x {min} L(x,lambda^*,eta^*) \ le &L(x^*,lambda^*,eta^*)\ =& f(x^*) + sum_i^m lambda_i g_i(x^*) + sum_i^n eta_i h_i(x^*)\ le & p^* = f(x^*) end{aligned} tag{3-c} ]
由于(p^*=d^*)，因此上式不等号应取到等号，再与式((3-b)) 得
[ sum_i^m lambda_i g_i(x^*) + sum_i^n eta_i h_i(x^*) = 0 tag{3-d} ]
由于注意(x^*)作为该问题的解，是一定满足(h(x^*) = 0)的，因此
[ lambda_i g_i(x) = 0,;;;i=1,2,cdots,m ]
这个条件叫做互补松弛性（complementary slackness）。
其中，(lambda ge 0)称为对偶可行性。并且它似乎可以从原始问题到对偶问题的极小极大问题中总结出。不过这里可以有另一种解释，简化一下，考虑只有不等式约束的问题
[ begin{aligned} min ;; &f(x) \ s.t.;; & g(x) le 0 \ end{aligned} ]
其中(g(x) le 0)称为原始可行性，由它确定的区间称为可行域。假设(x^*)为该问题的解，那么其位置有两种情况
-
(1) (g(x^*)<0)时，解在可行域中取得。这时解称为内部解，约束条件无效，原问题变为无约束问题。
-
(2) (g(x^*)=0)时，解在边界上取得， 这时解称为边界解，约束条件有效。
内部解直接由梯度为0即可解得，这里主要讨论边界解。
对于(g(x)=0)的约束问题，建立拉格朗日函数
[ L(x,lambda) = f(x) + lambda g(x) ]
因为驻点(x^*)在其上取得，那么该函数在(x^*)处的梯度为0，即
[ triangledown f(x^*) + lambda triangledown g(x^*) = 0 ]
这里两个梯度的方向应该是可以确定的，(f(x))的极小值在边界取到，那么可行域内部的(f(x))应该都是大于这个极小值的，因此(triangledown f)的方向是可行域内部。而(triangledown g)的方向是可行域外部，因为约束条件是(g(x)le 0)，也就是可行域外部都是(g(x)>0)，所以梯度方向指向函数增加的方向。这说明两个函数的梯度方向相反，那上面这个等式要成立，(lambda)只能是大于等于0。这就是对偶可行性。
再将其他的条件组合起来，便得到了KKT条件：
[ begin{aligned} triangledown _x L(x^*,lambda^*,eta^*) =0 \ g_i(x^*) le 0\ lambda_i ge 0\ lambda_i g_i(x^*) =0 end{aligned} ]
Reference：
[2] Pattern Recognition and Machine Learning.
[3] 统计学习方法
[4] 支持向量机：Duality
[5] KKT条件
