微积分小感——3.简单积分

• 2022 年 5 月 4 日
• 筆記
• 微积分小感

微积分小感_{——3.简单积分}

所需的前置知识：
1）函数的概念
2）实数理论
3）极限理论（第0章）
4）导数与微分（第1章）
5）微分学基本定理（第2章）

§1.定积分

—1.定积分的定义

​ 定积分的发明源于对曲边形面积的研究。我们先看一个简单的例子：

求二次函数 \(f(x)=x^2\) 与直线 \(x=0,x=1\) 以及 \(x\) 轴围成的曲边形的面积 \(S\) 。

初看令人束手无策。对于一个素昧平生的新问题，我们还是要拿出微积分学的初心——“用有限逼近无限，用离散逼近连续”。最简单好求面积的图形是什么？矩形。那么，我们不妨将这图形切割成矩形。将区间 \([0,1]\) 等分为 \(n\) 份，以每份的右端点的函数值为高，计算出面积和：

当 \(n\to\infin\) 时，\(S_n\) 趋于 \(S\) ，也就是：

得出结论 \(S=\frac{1}{3}\) 。

​ 更一般的，对于求函数 \(f(x)\) 与直线 \(x=a,x=b\) 以及 \(x\) 轴围成的曲边形的面积，我们如法炮制。首先从小到大取闭区间 \([a,b]\) 内一定数量的点 \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\) ，取点可以不均匀（这在极限意义下都是无关紧要的），然后将两点之间的距离 \(\Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}\ (1\leqslant i\leqslant n)\) 作为矩形的底边。对每一个矩形底边 \(\Delta x_i\) ，在区间 \([x_{i-1},x_i]\) 内取一点 \(\xi_i\) ，并以这一点的函数值 \(f(\xi_i)\) 作为矩形的高，算出所有矩形面积之和：

然后取极限。注意到由于是不一定均匀的取点，单纯令 \(n\to\infin\) 是不能达到逼近曲边形面积的效果的（例如取区间 \([a,b]\) 的 \(1/2,1/4,1/8,\cdots,1/2^n\) 处），我们应令 \(\lambda=\max\{\Delta x_i\}\to 0\) ，也就是所有的底边长度的最大值趋于零，才能得到正确结果：

等式最右边就是定积分的定义式[^可积性]：

形象地看，定积分的符号就是将 \(S\) 拉长成 \(\int\) ， \(f(\xi_i)\) 写成 \(f(x)\) ， \(\Delta x\) 写成 \(\text{d}x\) ，并标上区间左右端点得到的。定积分是因其结果为定数而得名的。

附注：
此处的 \(\text{d}x\) 在初期可以理解几何诠释中矩形的无穷小的底边，但它的实际作用是说明积分的变量。这要到后面的分部积分法和换元积分法的时候才会体现。

—2.定积分的性质

​ 如上定积分的定义局限于 \(a<b\) 的情况，简单粗暴的补充：

就可以对任意的 \(a,b\) 做定积分了。

​ 定积分满足如下显然的（所谓证明不过是套定义式罢了）运算法则：

\((ⅰ)\quad\) 加减法则：\(\int_a^b{(f(x)\pm g(x))\text{d}x}=\int_a^b{f(x)\text{d}x}\pm\int_a^b{g(x)\text{d}x}
\)
\((ⅱ)\quad\) 系数法则：\(\int_a^b{kf(x)\text{d}x}=k\int_a^b{f(x)\text{d}x}\) （ \(k\) 为常数）
\((ⅲ)\quad\) 连接法则：\(\int_a^b{f(x)\text{d}x}+\int_b^c{f(x)\text{d}x}=\int_a^c{f(x)\text{d}x}\)

​ 或许你已经准备计算一些常见函数的定积分了，但是……这个定义式几乎没有任何用处——绝大多数函数的求和是没办法计算的。别急，插个题外话，一切便豁然开朗。

§2.不定积分

—1.不定积分的定义

​ 求导是一种将函数变为另一个函数的运算（这被称为“算子”），如同定义了加法之后便要定义它的逆运算——减法，我们定义如下的求导的逆运算：

若两函数 \(F(x),f(x)\) 满足 \(F'(x)=f(x)\) ，就称：

\[\int{f(x)\text{d}x}=F(x)+C
\]

其中 \(C\) 为任意常数，此运算称为对 \(f(x)\) 的不定积分， \(F(x)\) 称为 \(f(x)\) 的原函数。

常数 \(C\) 的存在，是由于常数不会影响求导结果。正因如此，不定积分的结果不是一个函数，而是一个函数集合 \(\mathbb{F}=\{F(x)+C | C\in\mathbb{R}\}\) ，这也就是其被称为“不定”积分的缘故。

​ 出于严谨，我们要检验一下不定积分的完备性，也就是不会出现 \(G'(x)=f(x)\) 且 \(G'(x)\notin\mathbb{F}\) ：

证明： \(F'(x)=G'(x)\) 当且仅当 \(F(x)-G(x)\) 为常数。

• 由前推后：令 \(\phi(x)=F(x)-G(x)\) ，则 \(\phi'(x)=F'(x)-G'(x)=0\) ，由【第2章 §2 —1. 定理零】，\(\phi(x)\) 为常函数，得证。

• 由后推前：显然。

于是我们完备地得到了不定积分的定义。

​ 根据不定积分的定义，有显然的恒等式：

我们把函数 \(y=f(x)\) 的导数写成微分之比 \(y’=\cfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\) 的形式，自然地约掉 \(\text{d}x\) 得到：

于是，我们可以理解为： \(\int\) 和 \(\text{d}\) 是一对互逆运算！^[1]

​ 不定积分的相加和乘以系数有如下显然的运算法则：

对于函数 \(u=f(x)\) ，\(v=g(x)\) ：

​ \((ⅰ)\quad\) 加减法则： \(\int{(u \pm v)\text{d}x}=\int{u}\text{d}x \pm \int{v\text{d}x}\)
​ \((ⅱ)\quad\) 系数法则： \(\int{(k\cdot u)\text{d}x}=k\cdot\int{u\text{d}x}\) （ \(k\) 为常数）

但是不定积分的乘法和函数嵌套法则则涉及复杂的技巧（以至于它们甚至失掉了“乘法”和“嵌套”这两个基本的名字，改为了“分部积分法”和“换元积分法”），我们会专辟一节加以讨论，此处且按下不表。

—2.微积分基本定理

​ 读到此处你一定会发现一件怪事：定积分和不定积分的定义迥然不同，但它们却有极其形似的名称和记号。这一切都源于如下大名鼎鼎的微积分基本定理（又名牛顿-莱布尼茨定理）：

若 \(F'(x)=f(x)\) ，则：

\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=F(b)-F(a)
\]

我们有时记等号右侧为 \(F(x)|_a^b\) ，如同时记 \(F(x)=\int{f(x)\text{d}x}\) ，就能得到如下的优美式子：

\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\left.\int{f(x)\text{d}x}\right|_a^b
\]

​ 是不是令人折服？现在运用拉格朗日中值定理证明之：

证明：若 \(F'(x)=f(x)\) ，则：

\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=F(b)-F(a)
\]

摆出定积分的定义式：

\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}}
\]

对于任意一段 \([x_{i-1},x_i]\) ，由拉格朗日中值定理^[2]，有：

\[F(x_i)-F(x_{i-1})=f(c_i)\Delta x_i\qquad c_i\in(x_{i-1},x_i)
\]

由于 \(\xi_i\) 的选取是任意的，不妨令 \(\xi_i=c_i\) ，那么：

\[\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}=
\sum_{i=1}^{n}{f(c_i)\Delta x_i}=
\sum_{i=1}^{n}{(F(x_i)-F(x_{i-1}))}=
F(x_n)-F(x_0)
\]

所以：

\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}}
=\lim_{\lambda\to0}{(F(x_n)-F(x_0))}=F(b)-F(a)
\]

命题得证。

​ 有了微积分基本定理，我们就自然地搭建起了微分和积分的桥梁。从现代的角度，这定理描述的是定积分和不定积分的关系。但在微积分草创之时，其意义则十分重大：从几何角度，“积分”就是求曲边图形面积，“微分”就是求曲线斜率；从物理角度，“积分”就是求连续变化系统的宏观状态，“微分”就是求连续变化系统的微观改变；微积分基本定理就是在说，以上这两对操作分别互逆！

​ 有了微积分基本定理之后，我们就可以专心于“如何求不定积分”这一问题，定积分的内容将很少以重要的形式再出现了。

—3.微积分基本定理的相关结论和例子

​ 如下结论从证明的路线上来说，理应出现再微积分基本定理前边（至少是同时），但是从微积分基本定理回望它们会显得更容易理解。

1. 积分中值定理

   对于区间 \([a,b]\) 上的函数 \(f(x)\) ，存在 \(c\in[a,b]\) 使得：

   \[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=f(c)(b-a)
   \]

   令 \(F(x)=\int{f(x)\text{d}x}\) ，则由微积分基本定理结合拉格朗日中值定理：

   \[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=F(b)-F(a)=F'(c)(b-a)=f(c)(b-a)
   \]

2. 原函数存在定理

   对于函数 \(f(x)\) ，如下的函数 \(F(x)\) 是其原函数：

   \[F(x)=\int_a^x{f(t)\text{d}t}
   \]

   给定自变量增量 \(\Delta x\) ，则函数 \(F(x)\) 获得增量：

   \[\Delta F=F(x+\Delta x)-F(x)
   =\int_a^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}-\int_a^x{f(t)\text{d}t}
   =\int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}
   \]

   根据积分的定义式，记 \(f(x)\) 在区间 \([x,x+\Delta x]\) 上的最大最小值分别为 \(M(f),m(f)\) ，有：

   \[m(f)\Delta x\leqslant \int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}\leqslant M(f)\Delta x
   \]

   当 \(\Delta x\to 0\) 时，有 \(\lim m(f)=\lim M(f)=f(x)\) ，于是由夹逼定理：

   \[\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}}=f(x)
   \]

   套用导数的定义：

   \[F'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta F}{\Delta x}}
   =\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}}
   =f(x)
   \]

   意既 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的原函数。

   附注：
   这一定理是微积分基本定理的另一种证法（抑或另一种形式）。许多求导与积分的结合，或这极限与积分的结合，往往可使用这一定理。

​ 下面举一些简单但有趣的积分计算的例子：

1. \(\sin x\) 下的面积

计算函数 \(\sin x\) 与 \(x\) 轴在区间 \([0,\pi]\) 上围成的面积 \(S\) 。

根据定积分的几何意义，以及由 \((\cos x)’=-\sin x\) ，有：

\[S=\int_0^\pi {\sin x\text{d}x}=(-\cos x)\Big|_0^\pi=\cos 0-\cos\pi=2
\]

2. 两个函数所夹的面积

   如图（文件 §2-3-2.ggb ）计算由 \(f:y=x^2,g:y=\sqrt{x+1},x=-1,x=2\) 围成的阴影面积 \(S\) 。

   

   首先算出 \(f,g\) 两函数的原函数（不妨令积分常数 \(C=0\) ）：

   \[F(x)=\int{f(x)\text{d}x}=\frac{1}{3}x^3\quad,\quad
   G(x)=\int{g(x)\text{d}x}=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}
   \]

   我们将如图的阴影分为三块：以 \(A,B,C\) 为顶点的曲边三角状面积 \(S_1\) ，以 \(C,D\) 为顶点的叶子状面积 \(S_2\) ，以 \(D,E,F\) 为顶点的曲边三角状面积 \(S_3\) 。整个积分区间 \([-1,2]\) 相应分为三段 \([-1,x_C],[x_C,x_D],[x_D,2]\) （先不解出 \(C,D\) 的坐标），分别算出：

   \[S_1=\int_{-1}^{x_C}{(f(x)-g(x))\text{d}x}=(F(x)-G(x))\Big|_{-1}^{x_C}
   =F(x_C)-G(x_C)-F(-1)+G(-1) \\
   S_2=\int_{x_C}^{x_D}{(g(x)-f(x))\text{d}x}=(G(x)-F(x))\Big|_{x_C}^{x_D}
   =G(x_D)-F(x_D)-G(x_C)+F(x_C) \\
   S_3=\int_{x_D}^{2}{(f(x)-g(x))\text{d}x}=(F(x)-G(x))\Big|_{x_D}^{2}
   =F(2)-G(2)-F(x_D)+G(x_D) \qquad
   \]

   将上三项相加，带入 \(x_C \approx -0.724,x_D \approx 1.221\) ，得到 \(S=S_1+S_2+S_3 \approx 2.29\) 。

3. 运用积分夹逼

   求证：\(18\leqslant\displaystyle\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}\leqslant 19\)

   由于下面两幅图（文件 §2-3-3.ggb ），其中橙色和蓝色部分是原和\(-1\) ，青色和黄色的部分是函数 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) 在区间 \([2,100]\) 和 \([1,99]\) 上分别做的积分，

   

   根据图像有 \(S_{青}<S_{蓝}=S_{橙}<S_{黄}\) ，因而我们可以得到：

   \[2\sqrt{100}-2\sqrt{2}=\int_{2}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}<
   \sum_{x=2}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}
   <\int_{1}^{99}{\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}=\sqrt{99}-\sqrt{1}
   \]

   因此：

   \[18<2\sqrt{100}-2\sqrt{2}+1<\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}<2\sqrt{99}-2\sqrt{1}+1<19
   \]

   附注：
   此题当然有初等解法。注意到：

   \[\sqrt{x+1}+\sqrt{x}>2\sqrt{x}>\sqrt{x}+\sqrt{x-1} \\
   \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}<\frac{1}{2\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}} \\
   2\sqrt{x+1}-2\sqrt{x}<\frac{1}{\sqrt{x}}<2\sqrt{x}-2\sqrt{x-1}
   \]

   因而原和满足（此处将 \(x=1\) 单列是为了夹逼的紧度）：

   \[1+\sum_{x=2}^{100}{(2\sqrt{x+1}-2\sqrt{x})}<\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}<1+\sum_{x=2}^{100}{(2\sqrt{x}-2\sqrt{x-1})} \\
   18<2\sqrt{100}-2\sqrt{2}+1<\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}<2\sqrt{99}-2\sqrt{1}+1<19
   \]

   然而认识到这一不等式，上两图的积分图像也是不可或缺的。

§3.特殊积分法

—1.分部、换元积分法

​ 根据已经熟知的求导法则：

有对应的积分恒等式：

第一个式子被称为“分部积分法”。而第二个式子常写作

此时它起到将 \(u\) 换为 \(x\) 的作用，被称为“换元积分法”。如上两法的微分形式如下：

​ 此两法的详细内容会在下一章讨论，此处先以两个例子感受一二：

1. \(\int{\sec x\text{d}x}\)

   令 \(t=\sin x\) ，则 \(\text{d}x=\frac{1}{\cos x}\text{d}t\) ，代入原式：

   \[\int{\sec x\text{d}x}
   =\int{\frac{1}{\cos x}\text{d}x}
   =\int{\frac{1}{\cos^2 x}\text{d}t}
   =\int{\frac{1}{1-t^2}\text{d}t}
   \]

   对于这个分式，采取裂项的手段处理（这也会在下一章详细讨论）：

   \[\int{\frac{1}{1-t^2}\text{d}t}
   =\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1-t}\text{d}t}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+t}\text{d}t}
   =\frac{1}{2}\ln{(1-t)}+\frac{1}{2}\ln{(1+t)}+C
   \]

   由于 \(t=\sin{x}\in[-1,1]\) ，故 \(\ln\) 内不必带绝对值。回代 \(t=\sin x\) ，并化简：

   \[\frac{1}{2}\ln{(1-t)}+\frac{1}{2}\ln{(1+t)}+C
   =\ln{\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}}+C
   =\ln{\vert\tan x+\sec x\rvert}+C
   \]

   得到答案：

   \[\int{\sec x\text{d}x}=\ln{\vert\tan x+\sec x\rvert}+C
   \]

   附注：
   另有一极巧妙的做法：

   \[\begin{align*}
   \int{\sec x\text{d}x}
   & =\int{\frac{\sec^2 x+\tan x\sec x}{\sec x+\tan x}\text{d}x} \\
   & =\int{\ln'(\sec x+\tan x)\cdot(\sec x+\tan x)’\text{d}x} \\
   & =\ln{\vert\tan x+\sec x\rvert}+C
   \end{align*}
   \]

   套用 \(f(g(x))+C=\int{f'(g(x))g'(x)\text{d}x}\) 。

2. \(\int{e^x\sin x\text{d}x}\)

   令 \(u=e^x,v=\sin x\) ，套用两次分部积分法：

   \[\begin{align*}
   \int{e^x\sin x\text{d}x}
   &=e^x\sin x-\int{e^x\cos x\text{d}x} \\
   & =e^x\sin x-\left(e^x\cos x-\int{e^x(-\sin x)\text{d}x}\right) \\
   & =e^x(\sin x+\cos x)-\int{e^x\sin x\text{d}x}
   \end{align*}
   \]

   于是得出：

   \[\int{e^x\sin x\text{d}x}=\frac{e^x}{2}(\sin x+\cos x)
   \]

   附注：此类形如 \(e^xf(x)\) 的积分常用分部积分法，通常最终会在等号右侧重现原积分。

—2.反常积分

​ 反常积分，是指在积分区间内被积函数有未定义点或无穷点的定积分，这些点被称为“瑕点”。例如

就有 \(-\infin,-1,+1,+\infin\) 四个瑕点。

​ 总可以通过拆分，将有多个瑕点的反常积分拆分成仅含有一个瑕点，并且瑕点位于积分上下界的反常积分。既然函数在瑕点处无定义，容易想到的处理方法是通过极限逼近。于是得到反常积分的定义（以下的 \(c\) 皆是函数无定义的点）：

​ 我们尝试求一下本节开头的积分。有些初学者在可能会做如下论断：

由于被积函数 \(\cfrac{x}{x^2-1}\) 是奇函数，所以

\[\begin{align*}
\int_{-\infin}^{+\infin}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}
& =\lim_{t\to+\infin}{\left(\int_{-t}^{0}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}+\int_{0}^{t}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}\right)} \\
& =\lim_{t\to+\infin}{\left(\int_{0}^{t}{\frac{-x}{x^2-1}\text{d}x}+\int_{0}^{t}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}\right)}=0
\end{align*}
\]

如此做的错误在于试图仅用一个字母解决两个极限。正确的做法是先算出不定积分：

然后老老实实按定义：

首先取出第一个积分：

依次计算剩余积分，得出的结果分别是 \(-\infin,+\infin,-\infin,\infin,\infin\) ，这些无穷互不关联，于是原积分的结果是一个不存在的值。

—3.体积、弧长、表面积积分

​ 所谓“面动成体”，积分给予了我们强大的计算面积的工具，那接下来自然就可以开始体积的计算。我们要解决的是称为“旋转体”的立体的体积。对于一个定义在区间 \([a,b]\) 上的函数 \(f(x)\) ，我们将它与 \(x\) 轴、直线 \(x=a,x=b\) 围成的面积绕 \(x\) 轴旋转一周，求得到的立体的体积。

​ 回到积分定义的本源，我们对曲边形的处理方法是将其分割成多个矩形小条，累加来近似。如果我们将这个矩形组成的近似物绕 \(x\) 轴旋转一周，则可以得到一组圆盘，每个圆盘的半径为矩形的高，也就是这一区间内某点的函数值，高为矩形的宽。因此，旋转体就可以横截成多个圆盘，累加来近似。

​ 将思路落实成式子。首先分割区间 \([a,b]\) 为点 \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\) ，然后将每两点之间的距离 \(\Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}\ (1\leqslant i\leqslant n)\) 作为圆盘的厚度，同时在每个区间 \([x_{i-1},x_i]\) 内取一点 \(\xi_i\) ，并以这一点的函数值 \(f(\xi_i)\) 作为圆盘的半径，算出所有圆盘体积之和：

仿照积分定义的那个极限：

​ 让我们以一个实例练手

求半径为 \(r\) 的球的体积。

球由半圆旋转而成。半径为 \(r\) 的半圆对应函数

\[y=\sqrt{r^2-x^2} \qquad(-r\leqslant x\leqslant r)
\]

套用旋转体体积公式：

\[V=\int_{-r}^r{(\sqrt{r^2-x^2})^2\text{d}x}
=\int_{-r}^{r}{(r^2-x^2)\text{d}x}
=\left(r^2x-\frac{1}{3}x^3\right)\Big|_{-r}^r=\frac{4\pi}{3}r^3
\]

就是我们熟悉的球的体积公式。如下图（文件 §3-3.ggb ，蓝色为球，绿色为推导过程中的圆盘）：

​ 除了绕 \(x\) 轴旋转，还可以绕 \(y\) 轴旋转。此时的函数 \(f(x)\) 与 \(x\) 轴、直线 \(x=a,x=b\) 围成的面积旋转所得的立体，就可以如洋葱一般分割成数层柱壳，其中第 \(i\) 层的体积为 \(\nu_i=f(x_i)\pi(x_{i+1}^2-x_i^2)\) 。若直接将其累加套入极限，是无法整理成积分的形式的。我们可将其近似为以内层圆周长 \(2\pi x_i\) 为长、柱壳厚度 \(\Delta x_i\) 为宽、柱壳高度 \(f(\xi_i)\) 为高的长方体，其体积为 \(v_i=2\pi x_i \cdot\Delta x_i \cdot f(\xi_i)\) 。将其累加：

仿照积分定义的那个极限：

​ 旋转体当然还可以由绕非 \(x,y\) 轴的轴旋转得到，统一的处理方法是将其变换为坐标轴之后再积分。

​ 积分的作用还可拓展到一维领域——求曲线弧长。若要求函数 \(y=f(x)\) 再闭区间 \([a,b]\) 内的函数图像曲线的长度，首先分割区间 \([a,b]\) 为点 \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\) ，然后算出每两点之间对应的函数图像上的点之间的距离：

将这些距离累加并求极限：

注意到当 \(\lambda\to 0\) 时， \(\Delta x_i\to 0\) ，则根据导数的定义有 \(\cfrac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\sim f'(x)\) ，于是：

​ 我们尝试根据这个式子求圆的周长：

半径为 \(r\) 的半圆对应函数 \(f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\) ，则

\[f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}
\]

套用弧长的公式：

\[L=\int_{-r}^r{\sqrt{1+\left(-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2}\text{d}x}
=\int_{-r}^r{\frac{\text{d}x}{\sqrt{r^2-x^2}}}
\]

换元 \(x=r\sin t\) ，则 \(\text{d}x=r\cos t\text{d}t\) ，积分下限 \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) （注意定积分换元时要一并替换积分区间），原积分变为 （此区间内 \(\cos t\geqslant 0\) ，无需讨论符号）：

\[L=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{r\cos t\text{d}t}{\sqrt{r^2-(r\sin t)^2}}}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{r\text{d}t}
=rt\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\pi r
\]

因此圆的周长 \(C=2L=2\pi r\) 。

​ 将曲线绕着轴旋转，就可以得到旋转曲面。读者可仿照求旋转体体积，自行推导如下两个绕 \(x,y\) 轴旋转得到旋转曲面的表面积：

§4.积分的实例

—1.万有引力势能

​ 我们考虑一维空间中的情况^[3]。经典力学中，质量为 \(M,m\) 、相距 \(x\) 的两物体之间的万有引力的方向指向对方，其大小可看作关于 \(x\) 的函数：

假定在原点有一质量为 \(M\) 的质点，定义无穷远点为势能零点。首先计算质量为 \(m\) 的质点从无穷远点移动到 \(r_0\) 点过程中万有引力 \(F\) 做的功。我们取足够远的一点 \(r_1\) ，将移动过程 \([r_0,r_1]\) 分为 \(n\) 段，假定每一段上 \(F\) 不变，累加所作的功（此时引力方向与移动方向相同，功为正）：

使区间长 \(\lambda\to 0\) ，右端点 \(r_1\to \infin\) ，得到引力做的功的定义：

这是一个反常积分。做出不定积分：

代回原反常积分得到答案：

由于无穷远点为势能零点，因此 \(r_0\) 点的万有引力势能：

—2.质能方程

​ 我们考虑一维空间中的情况^[4]。在狭义相对论体系中，两个相对速度为 \(u\) 的惯性系满足洛伦兹变换：

若对于一个惯性系有一个速度为 \(v\) 的物体，那么另一个惯性系中此物体的速度

​ 假设有两个相对速度为 \(u\) 的惯性系 \(S,S’\) ，质量均为 \(m_0\) 的两个质点分别相对于 \(S,S’\) 静止。两质点相撞后合并为一个质点 \(M\) ，其相对于 \(S,S’\) 的速度分别为 \(v,v’\) 。假定参考系中物体的质量 \(m\) 是速度的大小 \(|v|\) 的函数。那么由于质量和动量守恒，对于两个惯性系分别有：

于是得到 \(v’=-v\) ，又根据惯性系间的速度变换 （显然，\(u>v\)）：

因此：

​ 于是可定义定义质量为 \(m\) 速度为 \(v\) 的质点的动量 \(p\) 为：

从而质点如此运动时所受的力 \(F\) 为：

同【§4—1】中的功的定义，此力 \(F\) 在区间 \([0,s]\) 上做功：

根据动量的定义计算其导数：

带回原积分：

记洛伦兹因子 \(\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}\) 。由于合外力对物体做的功等于动能的改变量，假设初始动能为 \(0\) ，那么点 \(s\) 的动能就为 \(E_k=\gamma mc^2-mc^2\) 。我们视第一部分 \(\gamma mc^2\) 为总能量，第二部分 \(E=mc^2\) 为静能，就得到了质能方程。

—3.蒲丰投针问题

平面内有无穷条相距 \(a\) 的平行线，将长度为 \(b\) 的针丢在平面内，求针与平行线相交的概率。

首先将问题转化为数学模型。我们可以用数对 \((x,\theta)\) 描述针在平面内的位置，其中 \(x\) 表示针的中点到距离最近的平行线的距离， \(x\in[0,\frac a 2]\) ；\(\theta\) 表示针与平行线的夹角， \(\theta\in[0,\frac \pi 2]\) 。则针与平行线相交就可以描述为如下不等式：

我们将满足解的数对 \((x,\theta)\) 表在平面内，就会形成如下蓝色区域：

​ 我们所求的概率就是蓝色区域面积与棕色矩形面积之比。在用积分求出蓝色区域面积之前，要注意到当 \(b>a,\sin\theta>\frac a b\) 时，蓝色区域会被限制成矩形，此时要分开求积分。于是：

1. 当 \(b\leqslant a\) 时，

   \[\begin{align*}
   S & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{b}{2}\sin\theta\text{d}\theta}=-\frac{b}{2}\cos\theta\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{b}{2} \\
   P & =\frac{S}{S_0}=\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}\cdot\frac{\pi}{2}}=\frac{2b}{\pi a}
   \end{align*}
   \]

2. 当 \(b>a\) 时，

   \[\begin{align*}
   S & =\int_{0}^{\arcsin\frac{a}{b}}{\frac{b}{2}\sin\theta\text{d}\theta}+\int_{\arcsin\frac{a}{b}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{a}{2}\text{d}\theta} \\
   &=-\frac{b}{2}\cos\theta\Big|_0^{\arcsin\frac{a}{b}}+\frac{a}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{a}{b}\right) \\
   & = \frac{\pi a}{4}+\frac{b}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{a}{2}\arcsin\frac{a}{b} \\
   P & =\frac{S}{S_0}=\frac{\frac{\pi a}{4}+\frac{b}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{a}{2}\arcsin\frac{a}{b}}{\frac{a}{2}\cdot\frac{\pi}{2}} \\
   & =1+\frac{2b}{\pi a}-\frac{2}{\pi a}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{a}{b}
   \end{align*}
   \]

综合起来：

读者可自证：给定 \(a\) ，总有 \(0<P<1\) ， \(P\) 随 \(b\) 的增大严格减小，当 \(b\to\infin\) 时 \(P\to 1\) 。

​ 这个实验在历史上曾用来估计 \(\pi\) 的大小，不少人做过此实验（下随意取几例）：

而其中多数要么很不精确，要么有造假之嫌。这个实验的“用概率估值”的精神被大名鼎鼎的蒙特卡洛方法继承，现在在计算机领域仍广为应用。

—4.不规则物体的引力

求平面内线密度 \(\rho\) 的曲线 \((x(t),y(t)),t\in[a,b]\) 对质量为 \(m\) 的质点 \((p,q)\) 的引力的大小。

老规矩，分割区间 \([a,b]\) ，近似计算出每一段的质量：

取每一段上的一点 \((\xi_i,\psi_i)\) ，算出其到质点的距离：

计算出此段对质点的引力大小：

将力分解到坐标轴方向上：

求和求出合力，并套入极限：

于是这个引力的大小就是 \(F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}\) 。

本章介绍了积分的定义、基本计算方法和其应用。狭义来说，积分是微分的逆操作（这将在第五章微分方程充分体现）。广义来说，对某一个函数的“累积”操作总可以抽象成关于这个函数的一个积分（积分甚至不一定连续，例如在数论中狄利克雷卷积就可以视作一种“积分”），再加以解决。积分也因此广泛地应用于物理、信息等各个领域。在下一章节，我们将介绍对于各种常见形式的积分的计算方法，那将是一个纯粹技术性的章节。